QCM : Principes et limites des suites mathématiques — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que permet de conclure le principe de récurrence lorsqu’une propriété est vraie au rang de départ et héréditaire à partir de ce rang ?

Qu’elle est vraie pour tout entier naturel à partir du rang de départ
Qu’elle devient vraie dès qu’on a vérifié l’hérédité
Qu’elle est vraie uniquement pour les rangs pairs
Qu’elle est vraie seulement au rang de départ

Qu’elle est vraie pour tout entier naturel à partir du rang de départ

Explication

Le principe de récurrence combine l’initialisation et l’hérédité pour établir la propriété pour tous les entiers à partir du rang initial. L’hérédité seule ne suffit pas.

2. Dans un raisonnement par récurrence, à quoi correspond l’hérédité ?

À démontrer directement la propriété pour tous les entiers
À vérifier la propriété au rang initial
À calculer l’expression explicite d’une suite
À montrer que P(k) vraie entraîne P(k+1) vraie

À montrer que P(k) vraie entraîne P(k+1) vraie

Explication

L’hérédité consiste à partir de P(k) vraie pour déduire P(k+1) vraie. L’initialisation, elle, vérifie le premier rang.

3. Quelle étape est indispensable pour démontrer par récurrence une formule explicite d’une suite définie par récurrence ?

Vérifier la formule au rang initial puis prouver le passage de k à k+1
Comparer la suite à une suite géométrique
Résoudre uniquement l’équation de récurrence sans initialisation
Montrer seulement que la suite est monotone

Vérifier la formule au rang initial puis prouver le passage de k à k+1

Explication

Pour établir une formule explicite, on commence par l’initialisation puis on prouve l’hérédité en utilisant la relation de récurrence. Sans cela, la démonstration n’est pas complète.

4. Quel type de propriété démontre-t-on typiquement par récurrence pour étudier le sens de variation d’une suite ?

La valeur exacte de la somme de ses termes
Une inégalité du type u_{n+1} ≥ u_n ou u_{n+1} ≤ u_n
La convergence de la suite sans autre argument
Une égalité entre deux suites quelconques

Une inégalité du type u_{n+1} ≥ u_n ou u_{n+1} ≤ u_n

Explication

La monotonie se prouve souvent par récurrence en établissant une inégalité entre deux termes consécutifs. Cela permet de conclure que la suite est croissante ou décroissante.

5. Pour a>0, quelle inégalité de Bernoulli est valable pour tout entier naturel n ?

(1+a)^n ≥ 1+na
(1+a)^n ≤ 1+na
(1+a)^n ≥ a^n
(1+a)^n = 1+na

(1+a)^n ≥ 1+na

Explication

L’inégalité de Bernoulli donne une minoration de (1+a)^n par 1+na lorsque a est positif. C’est une borne inférieure classique utilisée en récurrence.

6. Quelle est la première valeur utilisée pour initialiser la démonstration par récurrence de l’inégalité de Bernoulli ?

n=1
n=2
n=0
n=a

n=0

Explication

L’initialisation se fait au rang n=0, car on obtient alors (1+a)^0=1 et 1+0·a=1. C’est le point de départ de la récurrence.

7. Quand une suite admet-elle pour limite +∞ ?

Lorsque ses termes dépassent tout réel donné à partir d’un certain rang
Lorsque ses termes oscillent entre deux valeurs
Lorsque ses termes deviennent tous nuls
Lorsque ses termes se rapprochent d’une valeur finie

Lorsque ses termes dépassent tout réel donné à partir d’un certain rang

Explication

Une limite +∞ signifie qu’à partir d’un certain rang, la suite est au-dessus de n’importe quel réel fixé. C’est une notion de dépassement sans borne supérieure.

8. Quelle affirmation caractérise une suite convergente ?

Elle admet une limite finie
Elle ne peut pas être bornée
Elle admet forcément une limite infinie
Elle est nécessairement géométrique

Elle admet une limite finie

Explication

Une suite convergente possède une limite finie L. Une suite peut être divergente même si elle n’a pas de limite finie.

9. Dans quels cas peut-on additionner directement les limites de deux suites ?

Uniquement si les suites sont géométriques
Dès qu’une des deux suites diverge
Lorsque la somme n’est pas une forme indéterminée
Seulement si les deux limites sont nulles

Lorsque la somme n’est pas une forme indéterminée

Explication

La limite d’une somme est la somme des limites tant qu’il n’y a pas de forme indéterminée. Si une forme indéterminée apparaît, il faut d’abord la lever.

10. Quelle expression correspond à une forme indéterminée dans le calcul d’une limite ?

∞/∞
5/0
0+∞
1×∞

∞/∞

Explication

Le quotient ∞/∞ est une forme indéterminée, car le rapport dépend des ordres de grandeur. Les autres écritures ne sont pas classées ainsi dans le cours.

11. Quelle est la forme indéterminée associée à une différence de deux grandeurs qui tendent vers l’infini ?

0 × 0
∞ + ∞
∞ − ∞
1/∞

∞ − ∞

Explication

La différence ∞−∞ est indéterminée, car le résultat dépend des croissances relatives des deux termes. Il faut donc transformer l’expression avant de conclure.

12. Pour lever l’indétermination d’un quotient polynômial quand n tend vers l’infini, quelle méthode est privilégiée ?

Remplacer n par sa limite
Factoriser par le terme dominant
Additionner le numérateur et le dénominateur
Prendre la racine carrée des deux membres

Factoriser par le terme dominant

Explication

Le cours recommande de factoriser par le monôme de plus haut degré pour comparer les ordres de grandeur. Cette méthode permet de faire apparaître la limite.

13. Quel résultat permet le théorème de comparaison vers +∞ ?

Si u_n est bornée, alors v_n est forcément convergente
Si u_n ≥ v_n à partir d’un rang et u_n→+∞, alors v_n→+∞
Si u_n ≤ v_n à partir d’un rang et u_n→+∞, alors v_n→+∞
Si u_n→L et v_n→L, alors v_n→+∞

Si u_n ≤ v_n à partir d’un rang et u_n→+∞, alors v_n→+∞

Explication

Quand une suite minorante tend vers +∞, toute suite plus grande à partir d’un certain rang tend aussi vers +∞. C’est l’idée centrale de la comparaison.

14. Dans le théorème des gendarmes, quelle condition doit vérifier la suite intermédiaire ?

Être monotone stricte
Être géométrique de raison comprise entre −1 et 1
Être toujours positive
Être encadrée entre deux suites ayant la même limite

Être encadrée entre deux suites ayant la même limite

Explication

Le théorème des gendarmes s’applique lorsque la suite du milieu est coincée entre deux suites qui convergent vers la même limite. On en déduit alors la même limite pour la suite intermédiaire.

15. Quelle condition suffit, avec la monotonie, pour garantir la convergence d’une suite ?

Être strictement positive
Être définie par récurrence
Être bornée
Être géométrique

Être bornée

Explication

Le théorème de convergence monotone affirme qu’une suite monotone et bornée converge. La bornitude complète la monotonie.

16. Que conclut-on d’une suite croissante qui n’est pas majorée ?

Elle tend vers +∞
Elle tend vers −∞
Elle est forcément constante
Elle converge forcément

Elle tend vers +∞

Explication

Le cours donne comme corollaire qu’une suite croissante non majorée diverge vers +∞. C’est l’extension naturelle du théorème de convergence monotone.

17. Quelle relation définit une suite géométrique de raison q ?

u_{n+1}=u_n−q
u_{n+1}=u_n/q
u_{n+1}=q·u_n
u_{n+1}=u_n+q

u_{n+1}=q·u_n

Explication

Une suite géométrique est obtenue en multipliant chaque terme par une raison constante q. La relation de récurrence s’écrit donc u_{n+1}=q·u_n.

18. Si |q|<1, quel est le comportement d’une suite géométrique ?

Elle n’a pas de limite
Elle tend vers 0
Elle tend vers +∞
Elle devient constante

Elle tend vers 0

Explication

Quand la valeur absolue de q est strictement inférieure à 1, les puissances q^n s’annulent à l’infini. La suite géométrique tend donc vers 0.

19. Quelle formule donne la somme 1+q+q^2+…+q^n lorsque q≠1 ?

q^{n+1}−1
(1+q^{n+1})/(1+q)
(1−q^{n+1})/(1−q)
(1−q^n)/q

(1−q^{n+1})/(1−q)

Explication

La somme géométrique s’écrit (1−q^{n+1})/(1−q) pour q différent de 1. Cette condition évite une division par zéro.

20. Que faut-il étudier pour connaître la limite d’une somme géométrique à l’infini ?

La dérivée de la somme
La valeur de u_0 seulement
Le signe de n
La limite de q^n

La limite de q^n

Explication

À l’infini, le comportement de la somme dépend de q^n : si |q|<1, alors q^n→0 et la somme converge. C’est donc la puissance q^n qui décide du résultat.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 20 flashcards sur Principes et limites des suites mathématiques.

Principe de récurrence — définition ?

Méthode prouvant une propriété pour tous n à partir d’un rang initial.

Initialisation — rôle ?

Vérifier la propriété pour le premier rang de la suite.

Hérédité — rôle ?

Montrer que la propriété à un rang implique le suivant.

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