Principes et limites des suites mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Principe de récurrence
2. Applications aux suites par récurrence
3. Inégalité de Bernoulli
4. Limites infinies et finies
5. Opérations sur les limites
6. Formes indéterminées
7. Comparaison et encadrement
8. Convergence monotone
9. Suites géométriques
10. Somme d’une suite géométrique

📖 1. Principe de récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe d’hérédité : L’hérédité est la propriété qui, si elle est vraie à un rang k, reste vraie au rang k+1.
• Initialisation : L’initialisation est la vérification au rang de départ où la propriété est vraie.
• Raisonnement par récurrence : Le raisonnement par récurrence prouve une propriété pour tous les entiers à partir d’un rang en combinant initialisation et hérédité.
• Dominos : Le modèle des dominos illustre qu’un effet de chute se propage de k à k+1 puis à tous les rangs suivants.

📝 Points essentiels

• Le principe s’écrit : si P est vraie à un rang n0 et héréditaire à partir de n0, alors P est vraie pour tout n ≥ n0.
• L’hérédité correspond à : de P(k) vraie on déduit P(k+1) vraie.
• Sans initialisation, on peut obtenir une hérédité vraie alors que la propriété n’est jamais vraie (contre-exemple : « 2^n divisible par 3 »).
• Dans l’analogie des dominos, le premier domino tombe assure la propagation à toute la suite de dominos.

💡 Astuce mémo

Initialisation = domino n0, Hérédité = k → k+1, donc “tout tombe” après n0.