Principe de récurrence — définition ?
Méthode prouvant une propriété pour tous n à partir d’un rang initial.
Initialisation — rôle ?
Vérifier la propriété pour le premier rang de la suite.
Hérédité — rôle ?
Montrer que la propriété à un rang implique le suivant.
Principe d’hérédité — formulation ?
Si vrai à n₀ et héréditaire, alors vrai pour tous n ≥ n₀.
Application aux suites — objectif ?
Trouver une formule explicite ou monotonicité.
Monotonie par récurrence — preuve ?
Prouver u_{n+1} ≥ u_n ou ≤ en utilisant récurrence.
Inégalité de Bernoulli — formule ?
(1+a)^n ≥ 1+na pour a>0.
Inégalité de Bernoulli — condition ?
a > 0, n entier naturel.
Limite +∞ — définition ?
Suite dont les termes dépassent toute borne à partir d’un rang.
Limite finie — définition ?
Suite dont les termes se rapprochent d’un réel L.
Opérations sur limites — règle ?
Lim u_n ± v_n = lim u_n ± lim v_n, sous conditions.
Formes indéterminées — exemples ?
∞−∞, 0×∞, ∞/∞, 0/0.
Lever une indétermination — méthode ?
Factoriser ou multiplier par le conjugué.
Forme ∞−∞ — résolution ?
Factoriser par le terme dominant.
Suite géométrique — définition ?
u_{n+1} = q·u_n avec q constant.
Formule explicite suite géométrique ?
u_n = u_0·q^n.
Convergence suite géométrique — cas q<1 ?
Tend vers 0.
Convergence suite géométrique — cas q=1 ?
Constante, ne tend pas vers autre chose.
Convergence suite géométrique — cas |q|>1 ?
Diverge vers +∞ ou −∞.
Somme géométrique — formule ?
(1−q^{n+1})/(1−q), q≠1.
Testez vos connaissances avec un QCM de 20 questions sur Principes et limites des suites mathématiques.
1. Que permet de conclure le principe de récurrence lorsqu’une propriété est vraie au rang de départ et héréditaire à partir de ce rang ?
2. Dans un raisonnement par récurrence, à quoi correspond l’hérédité ?
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