Fiche de révision : Probabilités au collège

📋 Plan du Cours

1. Expériences et événements aléatoires
2. Calculer une probabilité
3. Événement contraire et loi
4. Réunion et intersection
5. Arbres pondérés
6. Probabilités conditionnelles
7. Loi des grands nombres

📖 1. Expériences et événements aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Possède plusieurs résultats ou issues et il est impossible de prévoir lequel se produira.
• Univers : L’ensemble de toutes les issues d’une expérience aléatoire.
• Événement : Constitué d’une ou plusieurs issues d’une même expérience aléatoire.

📝 Points essentiels

• Avec un dé à six faces, l’événement « obtenir un chiffre pair » est constitué des issues 2, 4 et 6.

💡 Astuce mémo

Aléatoire = plusieurs issues, mais résultat imprévisible ; univers = toutes les issues.

📖 2. Calculer une probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité : Un nombre compris entre 0 et 1 qui exprime la chance que cet événement se produise.

★ À maîtriser

📌 Un événement de probabilité 0 est impossible, tandis qu’un événement de probabilité 1 est certain.

📐 Formule — En cas d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A vérifie $P(A)=\frac{\text{nombre d’issues favorables à }A}{\text{nombre total d’issues}}$.

Compléments

• Pour un dé à six faces, la probabilité d’obtenir un 3 est $P(E)=\frac{1}{6}$, tandis que celle d’obtenir un chiffre pair ou strictement supérieur à 3 vaut $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

• Dans un jeu de 32 cartes, la probabilité de tirer un as est $\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$, car le jeu contient quatre as.

💡 Astuce mémo

Issues favorables → issues totales → probabilité.

📖 3. Événement contraire et loi

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement contraire : L’ensemble des issues n’appartenant pas à A.
• Loi de probabilité : Présente les probabilités de toutes les issues d’une expérience aléatoire.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La probabilité de l’événement contraire de A vérifie $P(\overline{A})=1-P(A)$.

📌 La somme des probabilités de toutes les issues d’une loi de probabilité est égale à 1.

💡 Astuce mémo

Contraire de A → complément de la probabilité à 1.

📖 4. Réunion et intersection

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : L’événement constitué des issues communes à A et B.
• Réunion : L’événement constitué des issues appartenant à A ou à B.

★ À maîtriser

📐 Formule — La probabilité d’une réunion vérifie $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Compléments

• Avec un dé à six faces, si A est « obtenir un multiple de 2 » et B « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 », alors $A\cap B=\{2;4\}$ et $P(A\cap B)=\frac{1}{3}$.

💡 Astuce mémo

Intersection = A et B ; réunion = A ou B.

📖 5. Arbres pondérés

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre pondéré : Un schéma qui représente les issues et les probabilités d’une expérience aléatoire comportant plusieurs épreuves.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour construire l’arbre à deux épreuves:
  1. Placer les issues de la première épreuve au premier niveau
  2. Placer les issues de la deuxième épreuve au deuxième niveau
  3. Indiquer les issues finales

Compléments

• En lançant deux fois une pièce, l’événement « obtenir au moins une fois PILE » possède trois issues sur quatre : (PILE;PILE), (PILE;FACE) et (FACE;PILE), donc sa probabilité est $\frac{3}{4}$.

💡 Astuce mémo

Premier niveau → deuxième niveau → issues finales.

📖 6. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité que B se réalise lorsque l’événement A est réalisé, et se note $P_A(B)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $P(A)\neq 0$, la probabilité conditionnelle vérifie $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.

📐 Formule — Pour $P(A)\neq 0$, on a $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.

Compléments

• Dans l’étude portant sur 800 patients, 383 patients traités par le médicament A sont guéris, 291 patients traités par B sont guéris et 674 patients sont guéris au total.

• Dans un jeu de 32 cartes, la probabilité qu’une carte soit un valet sachant qu’elle est un cœur vaut 0,125.

💡 Astuce mémo

B sachant A se calcule parmi A, pas parmi l’univers entier.

📖 7. Loi des grands nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Échantillon : Constitué des résultats de n répétitions indépendantes de la même expérience, réalisées sur une population étudiée.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour estimer une probabilité par simulation:
  1. Répéter n fois l’expérience
  2. Compter le nombre de succès
  3. Diviser le nombre de succès par n pour obtenir la fréquence observée

📐 Formule — La fréquence de succès dans un échantillon est $f=\frac{\text{nombre de succès}}{n}$.

📌 Lorsque n devient grand, la fréquence observée est le plus souvent proche de la probabilité.

Compléments

• Pour un dé à six faces où l’on gagne en obtenant 1 ou 6, la probabilité théorique de gagner est $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

💡 Astuce mémo

Taille de l’échantillon ↑ → fréquence observée généralement proche de la probabilité.

📊 Tableaux de synthèse

Opérations sur les événements