Fiche de révision : Probabilités conditionnelles

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire des expériences aléatoires
2. Lois et propriétés des probabilités
3. Probabilités conditionnelles
4. Construction d’un arbre de probabilités
5. Chemins et probabilités totales
6. Indépendance des événements
7. Épreuves et schéma de Bernoulli

📖 1. Vocabulaire des expériences aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Expérience dont le résultat est dû au hasard et ne peut pas être prédit à l’avance.
• Univers : Ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire.
• Événement : Partie de l’univers Ω, c’est-à-dire ensemble d’issues de l’expérience.
• Issue : Résultat possible d’une expérience aléatoire.
• Événement contraire : L’événement contraire de A, noté $\overline{A}$, est constitué de toutes les issues de Ω qui n’appartiennent pas à A.
• Événements incompatibles : Deux événements A et B sont incompatibles lorsque leur intersection est vide, soit A ∩ B = ∅.
• Cardinal : Nombre d’éléments de l’univers Ω.

📝 Points essentiels

📌 L’intersection A ∩ B contient les issues appartenant à la fois à A et à B, tandis que l’union A ∪ B contient les issues appartenant à A ou à B.

📖 2. Lois et propriétés des probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de probabilité : Définir une loi de probabilité sur Ω consiste à associer à chaque issue e_k une probabilité p_k appartenant à [0; 1], de sorte que $\sum_{k=1}^{n} p_k = 1$.
• Probabilité d’un événement : Somme des probabilités des issues qui composent l’événement A.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les propriétés fondamentales comprennent $P(\Omega)=1$, $P(\varnothing)=0$ et $P(\overline{A})=1-P(A)$.

📐 Formule - Si A et B sont incompatibles, alors $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.

📐 Formule - Pour deux événements quelconques A et B, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout événement A, $0 \leq P(A) \leq 1$.

📖 3. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Si P(B) ≠ 0, la probabilité de A sachant B, notée P_B(A), est définie par $P_B(A)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si P(B) ≠ 0, la probabilité de l’intersection vérifie $P(A \cap B)=P(B)\times P_B(A)$.

Compléments

• Une loi de probabilité conditionnelle P_B est une loi de probabilité lorsque P(B) ≠ 0.

• Dans l’exemple du service après-vente, 40 % des retours sont dus à la panne A, 30 % à la panne B et 3 % aux deux pannes simultanément.

• Dans l’exemple du test d’anglais, 80 % des élèves réussissent, 95 % des élèves ayant réussi n’ont jamais redoublé et 2 % des élèves ayant échoué n’ont jamais redoublé.

• Dans l’exemple des ordinateurs, l’entreprise possède 250 ordinateurs, dont 56 % de marque A, et 16 ordinateurs ont été réparés, dont 7 de marque A.

📖 4. Construction d’un arbre de probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre de probabilités : Un arbre de probabilités est un outil de modélisation composé de branches reliant des nœuds qui représentent des événements, notamment dans le cadre des probabilités conditionnelles.
• Chemin : Dans un arbre de probabilités, un chemin est une succession de branches et représente l’intersection des événements rencontrés le long de ce chemin.
• Feuille : Dans un arbre de probabilités, l’extrémité d’un chemin s’appelle une feuille.

★ À maîtriser

📌 Dans un arbre de probabilités, la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.

Compléments

• Lorsqu’une branche relie un chemin représentant un événement A de probabilité non nulle à un événement B, la probabilité conditionnelle P_A(B) est inscrite au-dessus de cette branche.

• Dans l’exemple du restaurant, chaque client prend au plus un dessert; 40 % choisissent des macarons et 50 % une part de tarte.

📖 5. Chemins et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Système complet d’événements : Famille d’événements deux à deux incompatibles dont la réunion est l’univers.
• Partition de l’univers : Système complet d’événements dont chaque événement a une probabilité non nulle.

★ À maîtriser

📌 La probabilité d’un chemin dans un arbre est le produit des probabilités des branches qui le composent.

📐 Formule - Pour un système complet d’événements $B_1,\ldots,B_n$ et un événement $A$, $P(A)=\sum_{k=1}^{n}P(A\cap B_k)=\sum_{k=1}^{n}P_{B_k}(A)P(B_k)$ lorsque le système est aussi une partition.

Compléments

• Dans l’exemple du restaurant, parmi les clients ayant choisi des macarons, 70 % prennent un café ; cette proportion est de 40 % parmi ceux ayant choisi une part de tarte et de 90 % parmi ceux n’ayant pris aucun dessert.

📐 Formule - Pour tout événement $A$ et tout événement $B$, $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B})$ ; si $0<P(B)<1$, alors $P(A)=P(B)P_B(A)+P(\overline{B})P_{\overline{B}}(A)$.

💡 Astuce mémo

Le long d’un chemin, on multiplie ; entre chemins incompatibles, on additionne.

📖 6. Indépendance des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Succession d’épreuves indépendantes : Une succession de $n\ge2$ épreuves indépendantes est une suite d’expériences aléatoires dans laquelle le résultat d’une expérience n’influence pas celui de la suivante.

★ À maîtriser

📌 Si $P(B)\ne0$, les événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P_B(A)=P(A)$.

Compléments

• Deux événements indépendants sont toujours indépendants lorsque l’un ou les deux sont remplacés par leur complémentaire.

💡 Astuce mémo

Indépendance : la conditionnelle reste égale à la probabilité initiale.

📖 7. Épreuves et schéma de Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuve de Bernoulli : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant exactement deux issues, dont l’une est désignée comme succès $S$ ; son paramètre $p\in[0{,}1]$ vérifie $P(S)=p$.
• Schéma de Bernoulli : Un schéma de Bernoulli de paramètres $n\in\mathbb{N}^*$ et $p\in[0{,}1]$ est une succession de $n$ épreuves de Bernoulli de même paramètre $p$ qui sont indépendantes.

📝 Points essentiels

• La loi d’une épreuve de Bernoulli est entièrement déterminée par son paramètre $p$.

• Dans un sac contenant 7 billes bleues et 5 billes rouges, un tirage d’une bille peut être modélisé comme une épreuve de Bernoulli de succès « tirer une bille bleue », de paramètre $p=\frac{7}{12}$.

📌 Deux tirages successifs sans remise dans un sac ne constituent pas un schéma de Bernoulli, car les tirages ne sont pas indépendants ; avec remise, ils peuvent constituer un schéma de Bernoulli de paramètre égal à la probabilité de tirer une bille bleue à chaque tirage.