Fiche de révision : Probabilités et événements

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire des événements
2. Tableaux croisés et diagrammes
3. Probabilité d’un événement
4. Réunions et événements contraires
5. Probabilités conditionnelles

📖 1. Vocabulaire des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement : Un sous-ensemble des issues de l’univers.
• Réunion : La réunion de A et B, notée $A \cup B$, contient les issues qui appartiennent à A ou à B.
• Intersection : L’intersection de A et B, notée $A \cap B$, contient les issues qui appartiennent à la fois à A et à B.
• Expérience aléatoire : Une expérience dont les résultats sont dus au hasard.
• Univers : L’ensemble de toutes les issues possibles et se note Ω.
• Événement élémentaire : Correspond à une seule issue.
• Événements incompatibles : Deux événements incompatibles ne peuvent pas se réaliser en même temps et vérifient $A \cap B = \varnothing$.
• Événements contraires : Les événements A et Ā sont contraires lorsque Ā contient toutes les issues qui ne sont pas dans A.

💡 Astuce mémo

L’union rassemble ce qui est dans A ou B ; l’intersection garde ce qui est dans A et B.

📖 2. Tableaux croisés et diagrammes

★ À maîtriser

• Un tableau croisé, appelé diagramme de Carroll, permet d’étudier deux événements et leurs contraires et peut contenir des effectifs, des fréquences ou des probabilités.

Compléments

• Parmi 13 téléphones, 10 ont un défaut d’écran, 8 un défaut de batterie et 6 les deux défauts ; un seul téléphone n’a aucun des deux défauts.

💡 Astuce mémo

Un tableau de Carroll partage l’univers en quatre cases, selon A ou son contraire et B ou son contraire.

📖 3. Probabilité d’un événement

🔑 Notions clés & Définitions

• Équiprobabilité : Les issues sont équiprobables lorsqu’elles ont toutes la même probabilité, égale à $\frac{1}{n}$ pour chacune des n issues.

★ À maîtriser

• La somme des probabilités des événements élémentaires de l’univers est égale à 1.

📌 La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent et vérifie $0 \leq P(A) \leq 1$.

Compléments

• Pour un dé truqué à six faces, les faces 1 à 5 ont chacune une probabilité de 0,10 et la face 6 une probabilité de 0,50.

• Avec ce dé truqué, la probabilité d’obtenir un résultat pair est $0{,}10+0{,}10+0{,}50=0{,}70$.

💡 Astuce mémo

Équiprobabilité : toutes les issues ont la même chance ; non-équiprobabilité : certaines issues pèsent davantage.

📖 4. Réunions et événements contraires

★ À maîtriser

📐 Formule - La probabilité de l’événement contraire de A est $P(\overline{A})=1-P(A)$.

📐 Formule - La probabilité de la réunion de deux événements est $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$.

Compléments

📌 Si A et B sont incompatibles, alors $P(A \cap B)=0$ et $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.

• Pour 13 téléphones, la probabilité qu’un téléphone n’ait pas de défaut d’écran est $1-\frac{10}{13}\approx 0{,}23$.

• Pour 13 téléphones, la probabilité d’avoir un défaut d’écran ou de batterie est $\frac{10}{13}+\frac{8}{13}-\frac{6}{13}=\frac{12}{13}\approx 0{,}92$.

📖 5. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle de B sachant que A est réalisé se note $P_A(B)$ et vaut $\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$, avec $P(A) \ne 0$.

📝 Points essentiels

• Lorsque les données proviennent des effectifs d’une population ou d’un échantillon, les probabilités conditionnelles correspondantes sont appelées fréquences conditionnelles.

• Dans l’échantillon de commandes, la fréquence des commandes avec dessert est $\frac{320}{1000}=0{,}32$, et celle avec dessert sachant que le plat du jour est choisi est $\frac{72}{600}=0{,}12$.

• Dans le tableau des commandes, les probabilités d’une commande sans dessert sont 0,68 sans condition, 0,88 sachant que le plat du jour est choisi et 0,38 sachant qu’un plat à la carte est choisi.

• Dans un tableau de probabilités, si $P(A \cap B)=0{,}05$, $P(A)=0{,}30$ et $P(B)=0{,}60$, alors $P_A(B)\approx0{,}167$, $P_B(A)\approx0{,}083$ et $P_B(\overline{A})\approx0{,}917$.