QCM : Probabilités conditionnelles (11 questions)

Question 1

1. Une personne tire au hasard une carte d’un jeu mélangé et ignore quelle carte sera tirée. Comment qualifier cette expérience ?

Une expérience déterministe, car le résultat est fixé avant le tirage

Une issue, car elle correspond à un résultat possible du tirage

Un univers, car il regroupe les résultats possibles du tirage

Une expérience aléatoire, car le résultat dépend du hasard et n’est pas prévisible à l’avance

Explication

Une expérience est aléatoire lorsque son résultat dépend du hasard et ne peut pas être prédit à l’avance. « Une issue » désigne un résultat possible, tandis que « un univers » désigne l’ensemble de ces résultats.

Answer

Une expérience aléatoire, car le résultat dépend du hasard et n’est pas prévisible à l’avance

Question 2

2. On lance un dé et l’on note l’événement « obtenir un nombre pair », soit $\{2,4,6\}$ . Quelle est la nature de cet ensemble par rapport à l’univers $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ ?

Le complémentaire de l’événement, donc les issues impaires

Une partie de l’univers, donc un événement

L’univers entier, donc l’ensemble de toutes les issues

Une issue unique de l’univers, donc un résultat élémentaire

Explication

Un événement est une partie de l’univers, c’est-à-dire un ensemble d’issues de l’expérience. Une issue élémentaire est un seul résultat, l’univers contient toutes les issues, et le complémentaire regroupe celles qui ne sont pas dans l’événement.

Answer

Une partie de l’univers, donc un événement

Question 3

3. Une expérience possède trois issues auxquelles on attribue les probabilités $0{,}2$ , $0{,}3$ et $0{,}5$ . Ces valeurs définissent-elles une loi de probabilité ?

Oui, car le produit des probabilités est égal à

1

Non, car la somme des probabilités doit être strictement inférieure à

1

Non, car une loi exige que toutes les issues aient la même probabilité

Oui, car chaque probabilité appartient à

[0;1]

et leur somme vaut

1

Explication

Une loi de probabilité attribue à chaque issue une valeur dans $[0;1]$ et la somme de ces valeurs doit être égale à $1$ : ici, $0{,}2+0{,}3+0{,}5=1$ . L’équiprobabilité n’est pas requise, et c’est la somme, non le produit, qui doit valoir un.

Answer

Oui, car chaque probabilité appartient à $$[0;1]$$ et leur somme vaut $$1$$

Question 4

4. Dans une expérience, deux événements incompatibles $A$ et $B$ ont pour probabilités $0{,}35$ et $0{,}25$ . Quelle est la probabilité de leur réunion ?

0{,}60

0{,}0875

0{,}10

0{,}40

Explication

Pour deux événements incompatibles, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ ; ainsi, $0{,}35+0{,}25=0{,}60$ . Le produit correspond à une autre opération, tandis que calculer un complémentaire ne donne pas directement la probabilité de la réunion.

Answer

$$0{,}60$$

Question 5

5. Que représente la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ , lorsque $P(B)\ne 0$ ?

La probabilité que ni

A

ni

B

ne se réalise parmi les cas observés.

La probabilité que

A

se réalise parmi les cas où

B

est réalisé.

La probabilité que

B

se réalise parmi les cas où

A

est réalisé.

La probabilité que

A

ou

B

se réalise dans l’univers entier.

Explication

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ mesure la part des réalisations de $B$ où $A$ se réalise, et se calcule par $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ inverse le rôle des deux événements et n’a pas, en général, la même valeur.

Answer

La probabilité que $$A$$ se réalise parmi les cas où $$B$$ est réalisé.

Question 6

6. Dans un arbre de probabilités, quelle somme doivent former les probabilités des branches qui partent d’un même nœud ?

Une somme égale au nombre de branches

Une somme égale à la probabilité du nœud

Une somme égale à 0,5

Une somme égale à 1

Explication

Les branches issues d’un même nœud représentent les possibilités qui suivent cet événement et leurs probabilités ont une somme égale à 1. La probabilité du nœud concerne le chemin qui y conduit, et non la somme des probabilités des branches qui en partent.

Answer

Une somme égale à 1

Question 7

7. Quel est le rôle de la formule des probabilités totales lorsqu’un système complet d’événements est défini ?

Vérifier que les probabilités des événements du système complet ont une somme égale à un.

Calculer la probabilité d’un chemin en multipliant les probabilités des branches qui le composent.

Déterminer la probabilité d’un événement contraire en soustrayant sa probabilité de un.

Calculer la probabilité d’un événement en additionnant ses probabilités conjointes avec chaque événement du système.

Explication

La formule des probabilités totales décompose la probabilité de A en une somme des probabilités des intersections de A avec les événements du système complet. Le produit des probabilités des branches sert plutôt à calculer la probabilité d’un chemin dans un arbre.

Answer

Calculer la probabilité d’un événement en additionnant ses probabilités conjointes avec chaque événement du système.

Question 8

8. En quoi l’indépendance de deux événements se distingue-t-elle de leur incompatibilité ?

L’indépendance signifie que la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre, tandis que l’incompatibilité signifie qu’ils ne peuvent se réaliser ensemble.

L’indépendance signifie que leurs probabilités sont égales, tandis que l’incompatibilité signifie que leur réunion forme l’univers.

L’indépendance signifie que les deux événements ne peuvent se réaliser ensemble, tandis que l’incompatibilité signifie que leurs probabilités restent inchangées.

L’indépendance signifie que l’un est le contraire de l’autre, tandis que l’incompatibilité signifie qu’ils ont la même probabilité.

Explication

Pour des événements indépendants, la probabilité conditionnelle de l’un sachant l’autre reste égale à sa probabilité initiale. Contrairement à l’incompatibilité, cette propriété n’empêche pas les deux événements de se réaliser ensemble.

Answer

L’indépendance signifie que la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre, tandis que l’incompatibilité signifie qu’ils ne peuvent se réaliser ensemble.

Question 9

9. Lors de deux tirages successifs d’une bille dans un sac, pourquoi l’absence de remise empêche-t-elle de modéliser les tirages comme un schéma de Bernoulli ?

Parce que le premier tirage modifie la composition du sac et peut changer la probabilité du second.

Parce que le succès doit avoir la même probabilité dans tous les sacs utilisés.

Parce que les tirages sans remise ne peuvent pas être considérés comme des expériences aléatoires.

Parce que chaque tirage produit plus de deux issues possibles et ne peut définir un succès.

Explication

Sans remise, le résultat du premier tirage modifie la composition du sac, ce qui peut influer sur le résultat et la probabilité du tirage suivant. L’idée qu’un tirage de bille aurait plus de deux issues confond les issues possibles avec les deux catégories définies pour une épreuve de Bernoulli, succès et échec.

Answer

Parce que le premier tirage modifie la composition du sac et peut changer la probabilité du second.

Question 10

10. Dans une expérience aléatoire, comment déterminer le cardinal de l’univers $\Omega$ ?

Additionner les probabilités de deux événements incompatibles

Compter les événements qui contiennent une issue donnée

Compter toutes les issues possibles de l’expérience

Compter les issues qui appartiennent à un événement choisi

Explication

Le cardinal de $\Omega$ est le nombre d’éléments de l’univers, donc il se détermine en comptant toutes les issues possibles. Compter seulement les issues d’un événement donne le cardinal de cet événement, pas celui de l’univers.

Answer

Compter toutes les issues possibles de l’expérience

Question 11

11. Quelle propriété relie la probabilité de l’union de deux événements quelconques à celles de leur intersection ?

On additionne leurs probabilités, puis on soustrait la probabilité de leur intersection.

On additionne leurs probabilités, puis on ajoute la probabilité de leur intersection.

On multiplie leurs probabilités, puis on soustrait celle de leur intersection.

On soustrait leurs probabilités, puis on ajoute celle de leur intersection.

Explication

Soustraire la probabilité de l’intersection évite de compter deux fois les issues communes aux deux événements. Ajouter cette intersection, comme dans un distracteur, compterait ces issues une fois de plus au lieu de corriger le double comptage.

Answer

On additionne leurs probabilités, puis on soustrait la probabilité de leur intersection.

QCM : Probabilités conditionnelles (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une personne tire au hasard une carte d’un jeu mélangé et ignore quelle carte sera tirée. Comment qualifier cette expérience ?

2. On lance un dé et l’on note l’événement « obtenir un nombre pair », soit $\{2,4,6\}$ . Quelle est la nature de cet ensemble par rapport à l’univers $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ ?

3. Une expérience possède trois issues auxquelles on attribue les probabilités $0{,}2$ , $0{,}3$ et $0{,}5$ . Ces valeurs définissent-elles une loi de probabilité ?

4. Dans une expérience, deux événements incompatibles $A$ et $B$ ont pour probabilités $0{,}35$ et $0{,}25$ . Quelle est la probabilité de leur réunion ?

5. Que représente la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ , lorsque $P(B)\ne 0$ ?

6. Dans un arbre de probabilités, quelle somme doivent former les probabilités des branches qui partent d’un même nœud ?

7. Quel est le rôle de la formule des probabilités totales lorsqu’un système complet d’événements est défini ?

8. En quoi l’indépendance de deux événements se distingue-t-elle de leur incompatibilité ?

9. Lors de deux tirages successifs d’une bille dans un sac, pourquoi l’absence de remise empêche-t-elle de modéliser les tirages comme un schéma de Bernoulli ?

10. Dans une expérience aléatoire, comment déterminer le cardinal de l’univers $\Omega$ ?

11. Quelle propriété relie la probabilité de l’union de deux événements quelconques à celles de leur intersection ?

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QCM : Probabilités conditionnelles (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une personne tire au hasard une carte d’un jeu mélangé et ignore quelle carte sera tirée. Comment qualifier cette expérience ?

2. On lance un dé et l’on note l’événement « obtenir un nombre pair », soit {2,4,6}\{2,4,6\}{2,4,6}. Quelle est la nature de cet ensemble par rapport à l’univers Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}Ω={1,2,3,4,5,6} ?

3. Une expérience possède trois issues auxquelles on attribue les probabilités 0,20{,}20,2, 0,30{,}30,3 et 0,50{,}50,5. Ces valeurs définissent-elles une loi de probabilité ?

4. Dans une expérience, deux événements incompatibles AAA et BBB ont pour probabilités 0,350{,}350,35 et 0,250{,}250,25. Quelle est la probabilité de leur réunion ?

5. Que représente la probabilité conditionnelle de AAA sachant BBB, lorsque P(B)≠0P(B)\ne 0P(B)=0 ?

6. Dans un arbre de probabilités, quelle somme doivent former les probabilités des branches qui partent d’un même nœud ?

7. Quel est le rôle de la formule des probabilités totales lorsqu’un système complet d’événements est défini ?

8. En quoi l’indépendance de deux événements se distingue-t-elle de leur incompatibilité ?

9. Lors de deux tirages successifs d’une bille dans un sac, pourquoi l’absence de remise empêche-t-elle de modéliser les tirages comme un schéma de Bernoulli ?

10. Dans une expérience aléatoire, comment déterminer le cardinal de l’univers Ω\OmegaΩ ?

11. Quelle propriété relie la probabilité de l’union de deux événements quelconques à celles de leur intersection ?

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3. Une expérience possède trois issues auxquelles on attribue les probabilités $0{,}2$ , $0{,}3$ et $0{,}5$ . Ces valeurs définissent-elles une loi de probabilité ?

4. Dans une expérience, deux événements incompatibles $A$ et $B$ ont pour probabilités $0{,}35$ et $0{,}25$ . Quelle est la probabilité de leur réunion ?

5. Que représente la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ , lorsque $P(B)\ne 0$ ?

10. Dans une expérience aléatoire, comment déterminer le cardinal de l’univers $\Omega$ ?