Fiche de révision : Probabilités conditionnelles et arbres

📋 Plan du Cours

1. Définition des probabilités conditionnelles
2. Calculs à partir d’un tableau
3. Formule des probabilités conditionnelles
4. Construction d’un arbre pondéré

📖 1. Définition des probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité de B lorsque l’événement A est réalisé, et se note P_A(B).

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des événements A et B avec P(A) non nulle, la probabilité conditionnelle vérifie $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.

Compléments

📐 Formule — La probabilité de l’événement contraire de A vérifie $P(\bar{A})=1-P(A)$.

💡 Astuce mémo

P_A(B) regarde B parmi les cas où A est réalisé, contrairement à P(B) qui considère tout l'univers.

📖 2. Calculs à partir d’un tableau

★ À maîtriser

📐 Formule — Le choix au hasard d’un patient parmi 800 est équiprobable, donc $P(A)=\frac{455}{800}$ et $P(G)=\frac{674}{800}$.

📐 Formule — D’après le tableau, $P(G\cap A)=\frac{383}{800}$ et $P(\bar{G}\cap A)=\frac{72}{800}$.

📐 Formule — La probabilité qu’un patient guéri ait pris le médicament A est $P_G(A)=\frac{383}{674}$.

• Dans l’étude portant sur 800 patients, 455 ont pris le médicament A, 345 ont pris le médicament B, 674 sont guéris et 126 ne sont pas guéris.

Compléments

📐 Formule — La probabilité qu’un patient traité par le médicament B soit guéri est $P_B(G)=\frac{294}{345}$.

💡 Astuce mémo

Un tableau de 800 patients se lit par lignes pour les guérisons et par colonnes pour les traitements.

📖 3. Formule des probabilités conditionnelles

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $P(A)=\frac{1}{4}$ et $P_A(B)=\frac{1}{8}$, alors $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=\frac{1}{32}$.

Compléments

📐 Formule — Si $P(A)=\frac{1}{4}$ et $P(A\cap B)=\frac{1}{32}$, alors $P_A(B)=\frac{1/32}{1/4}=\frac{1}{8}$.

• Dans l’exemple donné, si $P(A)=\frac{1}{4}$ et $P_A(B)=\frac{1}{5}$, alors $P(A\cap B)=\frac{1}{20}$.

💡 Astuce mémo

Restreindre à A puis observer B conduit à P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A).

📖 4. Construction d’un arbre pondéré

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre pondéré : Représentation d’une expérience aléatoire mettant en jeu des probabilités conditionnelles dans un univers Ω.

★ À maîtriser

📌 La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.

📌 La probabilité d’un chemin dans un arbre pondéré est le produit des probabilités des branches qui composent ce chemin.

Compléments

📐 Formule — Pour le chemin correspondant à f puis S, on a $P(f\cap S)=P(f)\times P_f(S)$.

📐 Formule — Si $P(f)=0{,}38$, alors la probabilité de l’événement contraire est $P(\bar{f})=1-0{,}38=0{,}62=62\%$.

💡 Astuce mémo

Branches complémentaires : addition à 1, puis chemins : multiplication.

📊 Tableaux de synthèse

Tableau de l’étude médicale