QCM : Probabilités conditionnelles et arbres (19 questions)

Explication

Pour deux répétitions indépendantes, la probabilité de la succession est le produit des probabilités : $0,3\times0,4=0,12$. La somme 0,7 additionne à tort les probabilités, 0,16 répète la probabilité de B et 0,75 remplace le produit par un quotient.

Explication

L’indépendance donne $P(A;B)=P(A)P(B)=0,2\times0,5=0,1$, et le produit ne change pas si l’ordre est inversé. La valeur 0,7 vient d’une addition, tandis que 0,2 et 0,5 omettent la probabilité de la seconde issue.

Explication

A et B sont indépendants lorsque savoir qu'A s’est produit ne modifie pas la probabilité de B, soit $P_A(B)=P(B)$. La valeur nulle correspond à l’incompatibilité, $P_B(A)$ conditionne dans l’autre sens, et l’égalité avec l’intersection ne caractérise pas l’indépendance.

Explication

Le critère d’indépendance est $P(A\cap B)=P(A)P(B)$; ici $0,4\times0,5=0,2$, donc les événements sont indépendants. L’addition des probabilités et la comparaison avec une seule probabilité ne sont pas les critères appropriés.

Explication

La formule de l’union donne $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,6+0,3-0,1=0,8$. La valeur 0,9 oublie le chevauchement, 0,7 le soustrait deux fois, et 0,18 correspond au produit des probabilités.

Explication

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités inscrites sur ses branches : $0,4\times 0,7=0,28$. La somme des branches correspond à une autre opération, et la probabilité conditionnelle seule ne donne pas celle du chemin.

Explication

Quand plusieurs chemins distincts réalisent un événement, on additionne leurs probabilités : $0,18+0,27=0,45$. Le produit combine des branches d’un même chemin, tandis que 0,27 omet l’autre chemin.

Explication

L’arbre pondéré est conseillé lorsque les probabilités conditionnelles sont connues : il permet d’obtenir les probabilités d’intersection par les chemins, puis les probabilités totales en additionnant les chemins pertinents. Le tableau à double entrée est plutôt indiqué lorsque les effectifs sont connus.

Explication

Lorsque les effectifs sont connus, le tableau à double entrée permet de lire les effectifs croisés, d’en déduire des probabilités conditionnelles et d’étudier l’indépendance. L’arbre est plutôt conseillé lorsque les probabilités conditionnelles sont fournies.

Explication

Une partition couvre tous les résultats possibles et ses événements sont deux à deux disjoints. L’égalité des probabilités et l’indépendance ne font pas partie de cette définition; une somme de probabilités égale à un ne suffit pas à établir les deux conditions.

Explication

La formule des probabilités totales pondère chaque probabilité conditionnelle par la probabilité du groupe : $P(B)=0,4\times0,3+0,6\times0,1=0,18$. 0,30 reprend la probabilité conditionnelle dans A, 0,40 confond le résultat avec la proportion de A, et 0,22 applique incorrectement la proportion de A au second terme.

Explication

La probabilité d’un événement associé à plusieurs feuilles est la somme des probabilités des chemins correspondants : $0,12+0,08+0,15=0,35$. 0,15 ne retient qu’un chemin, 0,00144 multiplie les probabilités des chemins, et 0,05 soustrait à tort l’une d’elles.

Explication

La formule de l’union retire une fois les personnes comptées dans les deux événements : $P(A\cup B)=46\%+35\%-18\%=63\%$. 81 % oublie le chevauchement, 45 % le soustrait deux fois, et 18 % correspond à l’intersection.

Explication

Parmi les 16 élèves ayant choisi les mathématiques, 4 ont aussi choisi l’anglais; il reste donc $16-4=12$ élèves en mathématiques seulement. 16 inclut les élèves ayant choisi les deux, 5 correspond à l’anglais seul, et 30 soustrait l’intersection de l’effectif total.

Explication

Les probabilités des branches issues d’un même nœud ont une somme égale à 1 ; la seconde vaut donc $1-0{,}38=0{,}62$. $0{,}38$ répète la première probabilité, $0{,}72$ complète jusqu’à 1 à partir d’une mauvaise valeur, et $1{,}38$ résulte d’une addition.

Explication

La probabilité d’une feuille est le produit des probabilités des branches du chemin : $0{,}4\times0{,}3=0{,}12$, ce qui correspond à l’intersection des événements rencontrés. $0{,}7$ vient de leur addition, $\frac{4}{3}$ d’une division, et $0{,}3$ oublie la première branche.

Explication

$P_A(B)$ désigne la probabilité de B sachant qu'A s’est réalisé, avec $P(A)\ne0$. La formulation « A sachant B » inverse les rôles, l’intersection porte sur la réalisation conjointe, et la probabilité sans condition ne tient pas compte de A.

Explication

La formule donne $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0{,}12}{0{,}4}=0{,}3$. $0{,}12$ omet la division par $P(A)$, $\frac{10}{3}$ inverse le quotient, et $0{,}2$ correspond à une division par le complément de $P(A)$.

Explication

L’intersection s’obtient en multipliant la probabilité de B par la probabilité de A sachant B : $P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)$. $P_A(B)$ inverse la condition, tandis que la somme et le quotient ne sont pas la règle du produit.