Fiche de révision : Probabilités conditionnelles et arbres

📋 Plan du Cours

1. Épreuves indépendantes successives
2. Indépendance de deux événements
3. Arbres pondérés et probabilités conditionnelles
4. Choisir tableau ou arbre pondéré
5. Partition et probabilités totales
6. Tableaux et opérations sur les événements
7. Règles des arbres pondérés
8. Probabilités conditionnelles

📖 1. Épreuves indépendantes successives

★ À maîtriser

📌 Lors de deux répétitions indépendantes d’une expérience, la probabilité d’obtenir A puis B est le produit des probabilités des deux issues : $P(A;B)=P(A)P(B).$

Compléments

📐 Formule - Pour deux répétitions indépendantes, $P(A;A)=P(A)^2$ et $P(B;B)=P(B)^2.$

📌 Pour deux événements distincts A et B obtenus au cours de deux répétitions indépendantes, l’ordre ne change pas leur probabilité : $P(A;B)=P(B;A)=P(A)P(B).$

• Deux lancers équilibrés d’une pièce donnent une probabilité de $\frac14$ d’obtenir deux fois Pile et une probabilité de $\frac12$ d’obtenir une fois Face.

• Un candidat répond au hasard à deux questions ayant chacune trois réponses possibles dont une seule juste ; la probabilité d’avoir au moins une réponse juste est $\frac59$.

• Une coccinelle part de A sur un triangle et se déplace deux fois sur trois dans le sens horaire et une fois sur trois dans le sens inverse ; sa probabilité de revenir en A après deux déplacements est $\frac49$.

📐 Formule - Pour une suite d’épreuves indépendantes, la probabilité d’une suite d’issues est le produit de leurs probabilités ; par exemple, pour un dé lancé cinq fois, la probabilité d’obtenir cinq fois 6 est $\left(\frac16\right)^5=\frac1{7776}.$

📖 2. Indépendance de deux événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements indépendants : Deux événements A et B de probabilités non nulles sont indépendants lorsque $P_A(B)=P(B)$, ce qui équivaut à $P(A\cap B)=P(A)P(B).$

★ À maîtriser

📐 Formule - Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)P(B),$ ce qui équivaut à $P_A(B)=P(B)$ et à $P_B(A)=P(A).$

📐 Formule - Pour deux événements A et B, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

Compléments

• Dans un jeu de 32 cartes, tirer un as et tirer un trèfle sont des événements indépendants, car $P(A\cap T)=\frac1{32}=P(A)P(T).$

• Dans un jeu de 32 cartes, tirer un trèfle et tirer une carte noire sont dépendants, car $P(N\cap T)=\frac14\ne P(N)P(T)=\frac18.$

• Dans une population où les maladies M et N ont respectivement des probabilités 0,005 et 0,01 et sont indépendantes, la probabilité d’avoir au moins une des deux maladies est 0,01495, soit 1,495 %.

• Dans l’étude de microprocesseurs, 9 % présentent le défaut A, 6 % le défaut B et 88 % ne présentent aucun défaut ; le tableau correspondant indique 3 % avec les deux défauts, donc les événements A et B ne sont pas indépendants puisque $P(A\cap B)=0{,}03\ne P(A)P(B)=0{,}0054.$

💡 Astuce mémo

Comparer l’intersection au produit des probabilités : égalité, indépendance ; écart, dépendance.

📖 3. Arbres pondérés et probabilités conditionnelles

★ À maîtriser

📌 Dans un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités inscrites sur ses branches.

📌 Lorsque plusieurs chemins distincts réalisent un événement, sa probabilité est la somme des probabilités de ces chemins.

Compléments

• Pour 50 boules comprenant 20 rouges dont 12 vertes et 30 non rouges dont 17 vertes, les probabilités des issues rouge-verte, rouge-non verte, non rouge-verte et non rouge-non verte sont respectivement 0,24, 0,16, 0,34 et 0,26.

• Pour l’arbre où $P(A)=0{,}9$, $P(B\mid A)=0{,}7$ et $P(B\mid\overline A)=0{,}8$, on obtient $P(A\cap B)=0{,}63$, $P(A\cap\overline B)=0{,}27$ et $P(B)=0{,}71.$

📐 Formule - Pour les branches initiales D, E et F de probabilités 0,2, 0,5 et 0,3, avec probabilités conditionnelles de R égales à 0,76, 0,68 et 0,07, la probabilité de R est $P(R)=0{,}2\times0{,}76+0{,}5\times0{,}68+0{,}3\times0{,}07=0{,}513.$

• Pour un test où 2 % des chiens sont malades, la probabilité d’un test positif est 0,066 si la sensibilité est 85 % et si 5 % des chiens sains ont un résultat positif.

📌 Dans ce dépistage, la probabilité qu’un chien malade ait un test positif est 85 %, tandis que la proportion de chiens malades parmi les tests positifs est environ 25,8 % ; la proportion de faux positifs parmi les tests positifs est environ 74,2 %.

💡 Astuce mémo

Probabilité du chemin, puis addition des chemins : multiplier, puis additionner.

📖 4. Choisir tableau ou arbre pondéré

📝 Points essentiels

📌 Un arbre pondéré est conseillé lorsque les probabilités conditionnelles sont connues afin d’en déduire les probabilités d’intersection et les probabilités totales.

📌 Un tableau à double entrée est conseillé lorsque les effectifs sont connus afin d’en déduire les probabilités conditionnelles et d’étudier les indépendances.

💡 Astuce mémo

Les effectifs appellent le tableau ; les probabilités conditionnelles appellent l’arbre.

📖 5. Partition et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de l’univers : Des événements dont les intersections deux à deux sont vides et dont l’union est l’univers.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une partition constituée de A et de son contraire, $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline A)\times P_{\overline A}(B).$

📌 La probabilité d’un événement associé à plusieurs chemins ou feuilles est la somme des probabilités de ces chemins.

Compléments

• Dans un sac de 50 boules comprenant 20 rouges dont 12 gagnantes et 30 noires dont 17 gagnantes, la probabilité de tirer une boule gagnante est $P(G)=\frac{20}{50}\times\frac{12}{20}+\frac{30}{50}\times\frac{17}{30}=\frac{29}{50}=0{,}58.$

📖 6. Tableaux et opérations sur les événements

★ À maîtriser

📐 Formule - La probabilité de l’union de deux événements vérifie $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

Compléments

• Dans une classe de 34 élèves, 16 ont choisi les mathématiques, 9 l’anglais et 4 les deux spécialités ; le tableau d’effectifs correspondant contient 12 élèves en mathématiques seulement, 5 en anglais seulement et 13 dans aucune des deux spécialités.

• Parmi 200 clients, 120 ont acheté un tee-shirt, 93 un jean et 52 les deux ; la probabilité qu’un client ait acheté au moins un des deux articles est $\frac{120+93-52}{200}=\frac{161}{200}=0{,}805.$

• Dans une classe de 34 élèves, la probabilité qu’un élève n’ait choisi aucune des deux spécialités est $\frac{13}{34}.$

📖 7. Règles des arbres pondérés

🔑 Notions clés & Définitions

• Nœud : Point de départ de plusieurs branches ; le premier nœud, appelé racine, représente l’univers Ω.
• Branche : Une branche relie deux événements ou deux nœuds de la même situation.
• Chemin : Suite de branches allant de la racine à une feuille de l’arbre.
• Feuille : Représentation de l’intersection des événements rencontrés sur le chemin qui y aboutit.

★ À maîtriser

📌 La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.

📌 La probabilité d’une feuille est le produit des probabilités des branches du chemin qui y mène et correspond à la probabilité de l’intersection des événements de ce chemin.

Compléments

• Dans un arbre pondéré, la branche reliant A à B porte la probabilité conditionnelle $P_A(B).$

💡 Astuce mémo

Racine → branches → chemin → feuille.

📖 8. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Probabilité que B se réalise sachant que A s’est réalisé, avec P(A) ≠ 0 ; elle se note P_A(B).

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux événements A et B avec P(A) ≠ 0, $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.$

📐 Formule - La probabilité d’une intersection peut s’écrire $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=P(B)\times P_B(A).$

Compléments

📐 Formule - Une probabilité conditionnelle et celle de l’événement contraire vérifient $P_A(B)+P_A(\overline B)=1.$

• Dans une classe où 9 élèves ont choisi l’anglais et 4 des 9 ont aussi choisi les mathématiques, la probabilité d’avoir choisi les mathématiques sachant que l’élève a choisi l’anglais est $\frac{4}{9}.$

💡 Astuce mémo

« Parmi » change l’univers de référence.