QCM : Probabilités conditionnelles et arbres (19 questions)

Question 1

1. Lors d’une expérience aléatoire, quel ensemble regroupe toutes les éventualités possibles ?

Un événement, souvent noté A

Une issue, souvent notée e

L’univers, souvent noté Ω

Un résultat réalisé, souvent noté R

Explication

L’univers rassemble toutes les éventualités possibles de l’expérience et se note souvent Ω. Un événement est un ensemble d’issues, tandis qu’une issue est un résultat possible particulier.

Answer

L’univers, souvent noté Ω

Question 2

2. On lance un dé et on définit A comme l’événement « obtenir un nombre pair ». Si le résultat est 4, que peut-on dire de A ?

A est réalisé seulement si 2, 4 et 6 sortent ensemble

A est une issue unique, égale au résultat 4

A est réalisé, car 4 est une de ses issues

A est l’univers, car il contient le résultat obtenu

Explication

Un événement est un ensemble d’issues et il est réalisé dès qu’une des éventualités qui le composent se produit. L’issue 4 appartient à A ; exiger toutes ses issues confond la réalisation d’un événement avec la réalisation simultanée de plusieurs résultats.

Answer

A est réalisé, car 4 est une de ses issues

Question 3

3. Dans un lancer de dé, A désigne « obtenir un nombre pair » et B « obtenir un nombre supérieur à 3 ». Quelles issues appartiennent à A ∩ B ?

4 et 6

2, 4 et 6

1, 2, 3, 4, 5 et 6

4, 5 et 6

Explication

L’intersection contient les issues communes aux deux événements : ici, les nombres à la fois pairs et supérieurs à 3 sont 4 et 6. La réunion rassemble les issues appartenant à au moins l’un des événements, tandis que les autres réponses ne vérifient qu’une seule condition ou incluent tout l’univers.

Answer

Non, car les issues élémentaires n’ont pas toutes la même probabilité

Answer

$$\frac{5}{12}$$

Answer

$$\frac{12}{40}$$

Answer

$$0{,}21$$

Answer

$$0{,}37$$

Answer

$$0{,}22$$

Answer

Ils ne forment pas une partition, car ils se recouvrent et ne couvrent pas l’univers.

Answer

Ils sont indépendants, même si leur intersection est non vide.

Answer

Ils sont indépendants, car $$p_A(B)=0,30=p(B)$$.

Answer

Les événements liés au premier feu sont indépendants de ceux liés au second.

Answer

Effectuer deux tirages avec remise.

Answer

Les issues possibles sont les mêmes et leurs probabilités restent constantes à chaque tirage.

Question 4

4. Un événement A est composé de trois issues élémentaires dont les probabilités sont respectivement 0,2, 0,15 et 0,25. Quelle est la valeur de P(A) ?

0,25

0,0075

0,60

0,40

Explication

La probabilité d’un événement est la somme des probabilités de ses issues élémentaires : 0,2 + 0,15 + 0,25 = 0,60. La valeur 0,25 ne retient qu’une issue, le produit correspond à une autre opération, et 0,40 est le complément de 0,60.

Question 5

5. Dans une expérience, P(A) = 0,45, P(B) = 0,35 et P(A ∩ B) = 0,10. Quelle est la probabilité de A ∪ B ?

0,70

0,80

0,10

0,60

Explication

La probabilité de la réunion se calcule par P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), soit 0,45 + 0,35 − 0,10 = 0,70. La somme 0,80 compte l’intersection deux fois, tandis que 0,10 est la probabilité de l’intersection elle-même.

Question 6

6. On tire au hasard une carte dans un jeu où certaines cartes sont plus susceptibles d’être tirées que d’autres. Peut-on considérer cette expérience comme une situation d’équiprobabilité ?

Oui, car le tirage est effectué au hasard

Non, car les probabilités des cartes changent après le tirage

Non, car les issues élémentaires n’ont pas toutes la même probabilité

Oui, car chaque carte constitue une issue élémentaire

Explication

L’équiprobabilité exige que tous les événements élémentaires aient la même probabilité ; la situation décrite ne la respecte pas. Un tirage au hasard ne suffit pas si certaines cartes sont plus susceptibles d’être obtenues.

Question 7

7. Une roue comporte 12 secteurs de même taille, dont 5 sont rouges. Quelle est la probabilité d’obtenir un secteur rouge ?

\frac{5}{12}

\frac{5}{7}

\frac{7}{12}

\frac{12}{5}

Explication

Les secteurs étant de même taille, les issues sont équiprobables et P(A) = Card(A)/Card(Ω) = 5/12. La fraction 12/5 inverse le rapport, 7/12 compte les secteurs non rouges, et 5/7 ne rapporte pas les cas favorables au nombre total d’issues.

Question 8

8. Dans une enquête, 40 personnes sur 100 pratiquent un sport et 12 pratiquent à la fois un sport et la musique. Quelle est la probabilité de pratiquer la musique sachant que la personne pratique un sport ?

\frac{12}{100}

\frac{12}{60}

\frac{12}{40}

\frac{40}{12}

Explication

La probabilité de la musique sachant le sport est la probabilité de leur intersection divisée par celle du sport, soit $\frac{12}{40}$ . Diviser par 100 oublie la condition, inverser les événements change la probabilité recherchée, et diviser par 60 utilise l’effectif de ceux qui ne pratiquent pas le sport.

Question 9

9. Dans une boutique, 70 % des clients achètent un produit en promotion, et parmi eux 30 % choisissent le modèle bleu. Quelle est la probabilité qu’un client choisi au hasard achète le modèle bleu en promotion ?

0{,}49

0{,}30

0{,}21

0{,}40

Explication

La probabilité conjointe s’obtient en multipliant la probabilité d’être en promotion par celle de choisir le modèle bleu sous cette condition : $0{,}70\times0{,}30=0{,}21$ . L’addition confond intersection et réunion, 0,30 omet la première étape et 0,49 repose sur la proportion complémentaire.

Question 10

10. À un nœud d’un arbre pondéré, une branche porte la probabilité $0{,}63$ . Quelle probabilité doit porter l’autre branche issue de ce même nœud ?

0{,}37

0{,}13

0{,}63

-0{,}63

Explication

Les probabilités des branches issues d’un même nœud ont une somme égale à 1 : $1-0{,}63=0{,}37$ . Reprendre 0,63 ne respecte pas cette somme, la valeur négative est impossible et 0,13 soustrait à tort de 0,5.

Question 11

11. Dans un arbre, la probabilité d’emprunter la première branche est $0{,}55$ et la probabilité conditionnelle de suivre ensuite une branche donnée est $0{,}40$ . Quelle est la probabilité du chemin complet ?

0{,}22

0{,}95

1{,}375

0{,}40

Explication

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches : $0{,}55\times0{,}40=0{,}22$ . Leur somme ne donne pas la probabilité du chemin, 0,40 néglige la première branche et le quotient inverse la règle de calcul.

Question 12

12. Dans un univers formé de quatre issues équiprobables, deux événements non vides se recouvrent et leur union omet une issue. Quelle conclusion peut-on tirer sur ces deux événements ?

Ils forment une partition, car leur union couvre presque tout l’univers.

Ils ne forment pas une partition, car ils se recouvrent et ne couvrent pas l’univers.

Ils forment une partition, car ils ont chacun une probabilité non nulle.

Ils ne forment pas une partition, car leurs probabilités sont différentes.

Explication

Une partition exige à la fois que les événements soient disjoints deux à deux et que leur union soit l’univers. Ici, ils se recouvrent et omettent une issue; une union presque complète ou des probabilités non nulles ne suffisent pas.

Question 13

13. Deux catégories disjointes et exhaustives ont des probabilités de 0,60 et 0,40. La probabilité de l’événement B vaut 0,20 dans la première catégorie et 0,50 dans la seconde. Quelle est la probabilité totale de B ?

0,24

0,70

0,38

0,32

Explication

La formule des probabilités totales donne $p(B)=0,60\times0,20+0,40\times0,50=0,12+0,20=0,32$ . La somme non pondérée oublie les probabilités des catégories, tandis que l’inversion des poids ou leur multiplication n’applique pas la formule.

Question 14

14. Deux événements A et B vérifient $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$ , mais leur intersection n’est pas vide. Quelle relation entretiennent-ils ?

Ils sont dépendants, car leur intersection est non vide.

Ils sont indépendants, même si leur intersection est non vide.

On ne peut conclure qu’en connaissant la probabilité de A seul.

Ils sont incompatibles, car leur intersection est non vide.

Explication

L’indépendance est caractérisée par l’égalité $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$ ; elle n’exige pas une intersection vide. L’incompatibilité correspond au contraire à une intersection vide, et la non-vacuité seule ne permet pas de conclure.

Question 15

15. On sait que $p(A)=0,40$ , que $p(B)=0,30$ et que $p(A\cap B)=0,12$ . Sachant qu'A est réalisé, quelle conclusion la règle de probabilité conditionnelle permet-elle de tirer sur l’indépendance de A et B ?

Ils sont indépendants, car

p_A(B)=0,40=p(A)

.

Ils sont dépendants, car

p_A(B)=0,48

.

Ils sont indépendants, car

p_A(B)=0,30=p(B)

.

Ils sont incompatibles, car

p(A\cap B)=0,12

.

Explication

Comme $p(A)\ne0$ , on calcule $p_A(B)=p(A\cap B)/p(A)=0,12/0,40=0,30$ ; cette valeur égale $p(B)$ , donc A et B sont indépendants. La valeur 0,48 vient d’un mauvais dénominateur, et une intersection de probabilité 0,12 n’est pas vide.

Question 16

16. Sur un trajet, deux feux tricolores non synchronisés sont considérés successivement. Quelle propriété caractérise cette succession de deux épreuves indépendantes ?

Les couleurs possibles des deux feux doivent être équiprobables.

Les deux feux doivent afficher la même couleur à chaque passage.

Les deux feux forment une seule expérience aléatoire à deux issues.

Les événements liés au premier feu sont indépendants de ceux liés au second.

Explication

Une succession de deux épreuves indépendantes signifie que les événements associés à la première expérience sont indépendants de ceux associés à la seconde. Des expériences successives ne deviennent pas une seule épreuve, et l’indépendance n’impose ni des résultats identiques ni des issues équiprobables.

Question 17

17. Pour modéliser deux expériences aléatoires indépendantes successives, quelle procédure de tirage constitue une représentation équivalente ?

Effectuer deux tirages en imposant des résultats différents.

Effectuer un seul tirage parmi deux objets.

Effectuer deux tirages sans remise.

Effectuer deux tirages avec remise.

Explication

Deux épreuves indépendantes successives peuvent être assimilées à deux tirages avec remise, car la remise préserve les conditions du tirage suivant. Sans remise, la composition change; un tirage unique ou des résultats imposés ne modélisent pas cette succession.

Question 18

18. Une expérience comporte deux issues possibles : obtenir une pièce défectueuse, événement choisi comme succès de probabilité $p$ , ou ne pas en obtenir. Quelle est la probabilité de l’échec dans cette épreuve de Bernoulli ?

1-p

p

\frac{p}{1-p}

\frac{1}{2}

Explication

Dans une épreuve de Bernoulli, les deux issues sont le succès de probabilité $p$ et l’échec de probabilité complémentaire $1-p$ . Utiliser $p$ pour l’échec confond les issues, et une probabilité de $\frac{1}{2}$ ou un rapport ne découle pas de la définition.

Question 19

19. Une urne contient trois boules blanches et deux rouges; après chaque tirage, la boule est remise. Quelle condition permet de qualifier les tirages successifs d’identiques et indépendants ?

Les issues possibles sont les mêmes, mais leurs probabilités changent après chaque tirage.

Les issues possibles sont les mêmes et leurs probabilités restent constantes à chaque tirage.

Les résultats obtenus sont différents et leurs probabilités restent constantes à chaque tirage.

Les résultats obtenus sont identiques et leurs probabilités changent après chaque tirage.

Explication

Des expériences répétées sont identiques et indépendantes lorsqu’elles ont les mêmes issues et que chaque issue conserve la même probabilité. Des résultats observés tous différents ou identiques ne sont pas requis; des probabilités qui changent ne satisfont pas la condition.

QCM : Probabilités conditionnelles et arbres (19 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Lors d’une expérience aléatoire, quel ensemble regroupe toutes les éventualités possibles ?

2. On lance un dé et on définit A comme l’événement « obtenir un nombre pair ». Si le résultat est 4, que peut-on dire de A ?

3. Dans un lancer de dé, A désigne « obtenir un nombre pair » et B « obtenir un nombre supérieur à 3 ». Quelles issues appartiennent à A ∩ B ?

4. Un événement A est composé de trois issues élémentaires dont les probabilités sont respectivement 0,2, 0,15 et 0,25. Quelle est la valeur de P(A) ?

5. Dans une expérience, P(A) = 0,45, P(B) = 0,35 et P(A ∩ B) = 0,10. Quelle est la probabilité de A ∪ B ?

6. On tire au hasard une carte dans un jeu où certaines cartes sont plus susceptibles d’être tirées que d’autres. Peut-on considérer cette expérience comme une situation d’équiprobabilité ?

7. Une roue comporte 12 secteurs de même taille, dont 5 sont rouges. Quelle est la probabilité d’obtenir un secteur rouge ?

8. Dans une enquête, 40 personnes sur 100 pratiquent un sport et 12 pratiquent à la fois un sport et la musique. Quelle est la probabilité de pratiquer la musique sachant que la personne pratique un sport ?

9. Dans une boutique, 70 % des clients achètent un produit en promotion, et parmi eux 30 % choisissent le modèle bleu. Quelle est la probabilité qu’un client choisi au hasard achète le modèle bleu en promotion ?

10. À un nœud d’un arbre pondéré, une branche porte la probabilité $0{,}63$ . Quelle probabilité doit porter l’autre branche issue de ce même nœud ?

11. Dans un arbre, la probabilité d’emprunter la première branche est $0{,}55$ et la probabilité conditionnelle de suivre ensuite une branche donnée est $0{,}40$ . Quelle est la probabilité du chemin complet ?

12. Dans un univers formé de quatre issues équiprobables, deux événements non vides se recouvrent et leur union omet une issue. Quelle conclusion peut-on tirer sur ces deux événements ?

13. Deux catégories disjointes et exhaustives ont des probabilités de 0,60 et 0,40. La probabilité de l’événement B vaut 0,20 dans la première catégorie et 0,50 dans la seconde. Quelle est la probabilité totale de B ?

14. Deux événements A et B vérifient $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$ , mais leur intersection n’est pas vide. Quelle relation entretiennent-ils ?

15. On sait que $p(A)=0,40$ , que $p(B)=0,30$ et que $p(A\cap B)=0,12$ . Sachant qu'A est réalisé, quelle conclusion la règle de probabilité conditionnelle permet-elle de tirer sur l’indépendance de A et B ?

16. Sur un trajet, deux feux tricolores non synchronisés sont considérés successivement. Quelle propriété caractérise cette succession de deux épreuves indépendantes ?

17. Pour modéliser deux expériences aléatoires indépendantes successives, quelle procédure de tirage constitue une représentation équivalente ?

18. Une expérience comporte deux issues possibles : obtenir une pièce défectueuse, événement choisi comme succès de probabilité $p$ , ou ne pas en obtenir. Quelle est la probabilité de l’échec dans cette épreuve de Bernoulli ?

19. Une urne contient trois boules blanches et deux rouges; après chaque tirage, la boule est remise. Quelle condition permet de qualifier les tirages successifs d’identiques et indépendants ?

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QCM : Probabilités conditionnelles et arbres (19 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Lors d’une expérience aléatoire, quel ensemble regroupe toutes les éventualités possibles ?

2. On lance un dé et on définit A comme l’événement « obtenir un nombre pair ». Si le résultat est 4, que peut-on dire de A ?

3. Dans un lancer de dé, A désigne « obtenir un nombre pair » et B « obtenir un nombre supérieur à 3 ». Quelles issues appartiennent à A ∩ B ?

4. Un événement A est composé de trois issues élémentaires dont les probabilités sont respectivement 0,2, 0,15 et 0,25. Quelle est la valeur de P(A) ?

5. Dans une expérience, P(A) = 0,45, P(B) = 0,35 et P(A ∩ B) = 0,10. Quelle est la probabilité de A ∪ B ?

6. On tire au hasard une carte dans un jeu où certaines cartes sont plus susceptibles d’être tirées que d’autres. Peut-on considérer cette expérience comme une situation d’équiprobabilité ?

7. Une roue comporte 12 secteurs de même taille, dont 5 sont rouges. Quelle est la probabilité d’obtenir un secteur rouge ?

8. Dans une enquête, 40 personnes sur 100 pratiquent un sport et 12 pratiquent à la fois un sport et la musique. Quelle est la probabilité de pratiquer la musique sachant que la personne pratique un sport ?

9. Dans une boutique, 70 % des clients achètent un produit en promotion, et parmi eux 30 % choisissent le modèle bleu. Quelle est la probabilité qu’un client choisi au hasard achète le modèle bleu en promotion ?

10. À un nœud d’un arbre pondéré, une branche porte la probabilité 0,630{,}630,63. Quelle probabilité doit porter l’autre branche issue de ce même nœud ?

11. Dans un arbre, la probabilité d’emprunter la première branche est 0,550{,}550,55 et la probabilité conditionnelle de suivre ensuite une branche donnée est 0,400{,}400,40. Quelle est la probabilité du chemin complet ?

12. Dans un univers formé de quatre issues équiprobables, deux événements non vides se recouvrent et leur union omet une issue. Quelle conclusion peut-on tirer sur ces deux événements ?

13. Deux catégories disjointes et exhaustives ont des probabilités de 0,60 et 0,40. La probabilité de l’événement B vaut 0,20 dans la première catégorie et 0,50 dans la seconde. Quelle est la probabilité totale de B ?

14. Deux événements A et B vérifient p(A∩B)=p(A)×p(B)p(A\cap B)=p(A)\times p(B)p(A∩B)=p(A)×p(B), mais leur intersection n’est pas vide. Quelle relation entretiennent-ils ?

15. On sait que p(A)=0,40p(A)=0,40p(A)=0,40, que p(B)=0,30p(B)=0,30p(B)=0,30 et que p(A∩B)=0,12p(A\cap B)=0,12p(A∩B)=0,12. Sachant qu'A est réalisé, quelle conclusion la règle de probabilité conditionnelle permet-elle de tirer sur l’indépendance de A et B ?

16. Sur un trajet, deux feux tricolores non synchronisés sont considérés successivement. Quelle propriété caractérise cette succession de deux épreuves indépendantes ?

17. Pour modéliser deux expériences aléatoires indépendantes successives, quelle procédure de tirage constitue une représentation équivalente ?

18. Une expérience comporte deux issues possibles : obtenir une pièce défectueuse, événement choisi comme succès de probabilité ppp, ou ne pas en obtenir. Quelle est la probabilité de l’échec dans cette épreuve de Bernoulli ?

19. Une urne contient trois boules blanches et deux rouges; après chaque tirage, la boule est remise. Quelle condition permet de qualifier les tirages successifs d’identiques et indépendants ?

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11. Dans un arbre, la probabilité d’emprunter la première branche est $0{,}55$ et la probabilité conditionnelle de suivre ensuite une branche donnée est $0{,}40$ . Quelle est la probabilité du chemin complet ?

14. Deux événements A et B vérifient $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$ , mais leur intersection n’est pas vide. Quelle relation entretiennent-ils ?

15. On sait que $p(A)=0,40$ , que $p(B)=0,30$ et que $p(A\cap B)=0,12$ . Sachant qu'A est réalisé, quelle conclusion la règle de probabilité conditionnelle permet-elle de tirer sur l’indépendance de A et B ?

18. Une expérience comporte deux issues possibles : obtenir une pièce défectueuse, événement choisi comme succès de probabilité $p$ , ou ne pas en obtenir. Quelle est la probabilité de l’échec dans cette épreuve de Bernoulli ?