Fiche de révision : Probabilités conditionnelles et arbres

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire des événements
2. Probabilité et équiprobabilité
3. Probabilités conditionnelles
4. Arbres pondérés
5. Formule des probabilités totales
6. Indépendance de deux événements
7. Succession de deux épreuves indépendantes
8. Épreuves de Bernoulli répétées

📖 1. Vocabulaire des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Univers : L’ensemble de ses éventualités et se note souvent Ω.
• Événement : Un ensemble d’issues de l’univers, réalisé lorsqu’une de ses éventualités se réalise.
• Événement élémentaire : Un événement qui ne contient qu’une seule issue.

★ À maîtriser

📌 L’intersection A ∩ B correspond aux issues communes à A et B (« A et B »), tandis que la réunion A ∪ B correspond aux issues appartenant à au moins l’un des deux événements (« A ou B »).

Compléments

📌 Deux événements A et B sont incompatibles lorsque A ∩ B = ∅, c’est-à-dire qu’ils ne peuvent pas être réalisés simultanément.

• L’événement contraire de A, noté Ā, vérifie A ∪ Ā = Ω et A ∩ Ā = ∅.

💡 Astuce mémo

L’intersection est « et » ; la réunion est « ou ».

📖 2. Probabilité et équiprobabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité d’un événement : La somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.
• Équiprobabilité : Une situation où tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous événements A et B, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$.

📐 Formule - En situation d’équiprobabilité, $P(A)=\frac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)}$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout événement A, $0 \leq P(A) \leq 1$, $P(\varnothing)=0$ et $P(\Omega)=1$.

📐 Formule - Pour tout événement A, $P(\overline A)=1-P(A)$.

📌 Si A et B sont incompatibles, alors $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.

📖 3. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Si P(A) ≠ 0, la probabilité de B sachant que A est réalisé, notée p_A(B), est définie par $p_A(B)=\frac{p(A \cap B)}{p(A)}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si p(B) ≠ 0, $p_B(A)=\frac{p(A \cap B)}{p(B)}$.

📐 Formule - Pour deux événements de probabilité non nulle, $0 \leq p_A(B) \leq 1$.

• Si p(G)=0,6 et p_G(A)=0,8, alors la probabilité d’obtenir une calculatrice graphique de marque A est p(A ∩ G)=0,6 × 0,8=0,48.

📖 4. Arbres pondérés

★ À maîtriser

📌 Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.

📌 Dans un arbre pondéré, la probabilité de l’événement associé à un chemin est le produit des probabilités des branches de ce chemin.

Compléments

📐 Formule - Pour deux étapes successives, $P(A \cap B)=P(A)\times P_A(B)$ et $P(A \cap \overline B)=P(A)\times P_A(\overline B)$.

• Si 76 % des clients choisissent le libre-service et que 72 % d’entre eux prennent du gazole, alors la probabilité qu’un client choisisse le libre-service et prenne du gazole est 0,76 × 0,72 = 0,5472.

📖 5. Formule des probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de l’univers : Des événements de probabilités non nulles qui sont disjoints deux à deux et dont l’union est l’univers.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une partition $A_1,\ldots,A_n$ et tout événement B, $p(B)=\sum_{i=1}^{n}p(B\cap A_i)=\sum_{i=1}^{n}p(A_i)\times p_{A_i}(B)$.

Compléments

• Un événement A et son complémentaire $\overline{A}$ forment toujours une partition de l’univers $\Omega$.

• Dans un arbre pondéré, la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet événement.

📖 6. Indépendance de deux événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance de deux événements : Deux événements A et B sont indépendants si $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.

★ À maîtriser

📌 Si $p(A)\ne 0$, A et B sont indépendants si et seulement si $p_A(B)=p(B)$.

Compléments

• Si A et B sont indépendants, alors $\overline{A}$ et B, A et $\overline{B}$, ainsi que $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont aussi indépendants.

💡 Astuce mémo

Indépendants : le produit des probabilités convient ; incompatibles : l’intersection est vide.

📖 7. Succession de deux épreuves indépendantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Succession de deux épreuves indépendantes : Réalisation successive de deux expériences aléatoires dont les événements associés à la première sont indépendants de ceux associés à la seconde.

📝 Points essentiels

• Deux épreuves sont indépendantes si le résultat de l’une n’a pas d’influence sur le résultat de l’autre.

• Une succession de deux épreuves indépendantes peut être assimilée à deux tirages avec remise.

• Deux feux tricolores non synchronisés sont modélisés comme des épreuves indépendantes, car la couleur de l’un n’influe pas sur celle de l’autre.

📖 8. Épreuves de Bernoulli répétées

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuve de Bernoulli : Expérience aléatoire à deux issues : un succès S de probabilité p et un échec E de probabilité 1-p.

★ À maîtriser

• Des expériences sont identiques et indépendantes si elles ont les mêmes issues et si chaque issue conserve la même probabilité.

Compléments

• Avec remise, tirer une boule blanche dans une urne contenant 3 boules blanches et 2 rouges a une probabilité de succès de 0,6 à chaque tirage.

• Pour trois tirages indépendants de probabilité de succès 0,6, la probabilité d’obtenir exactement trois succès est 0,216.

• Pour trois tirages indépendants de probabilité de succès 0,6, la probabilité d’obtenir au moins un succès est 0,936.