QCM : Probabilités conditionnelles et indépendance (8 questions)

Question 1

1. Comment la formule des probabilités totales permet-elle de calculer la probabilité d’un événement ?

En choisissant la probabilité conditionnelle correspondant au chemin le plus probable

En multipliant les probabilités des événements observés avant cet événement

En additionnant les probabilités des chemins qui conduisent à cet événement

En soustrayant la probabilité de l’événement contraire de celle de l’événement étudié

Explication

La formule des probabilités totales additionne les probabilités de tous les chemins menant à l’événement considéré. La multiplication intervient pour calculer la probabilité d’un chemin particulier, et non pour réunir plusieurs chemins.

Answer

En additionnant les probabilités des chemins qui conduisent à cet événement

Question 2

2. Si $P(A)=0,6$ , $P_A(B)=0,4$ et $P_{\bar A}(B)=0,1$ , quelle est la valeur de $P(B)$ ?

0,30

0,28

0,46

0,34

Explication

On applique $P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\bar A)\times P_{\bar A}(B)$ , soit $0,6\times0,4+0,4\times0,1=0,34$ . La valeur $0,28$ oublie la contribution du chemin passant par $\bar A$ .

Answer

La réalisation de $$A$$ ne modifie pas la probabilité de réalisation de $$B$$, et réciproquement

Answer

$$P_A(B)=P(B)$$

Answer

$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$

Answer

Le premier niveau représente $$A$$ et son contraire, puis le second leurs probabilités conditionnelles

Answer

La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud

Answer

En multipliant les probabilités des branches qui composent ce chemin

Question 3

3. Que signifie l’indépendance de deux événements $A$ et $B$ ?

Les événements

A

et

B

ne peuvent pas se réaliser lors de la même expérience

La réalisation de

A

ne modifie pas la probabilité de réalisation de

B

, et réciproquement

La réalisation de

A

entraîne une augmentation de la probabilité de réalisation de

B

Les événements

A

et

B

ont nécessairement la même probabilité de réalisation

Explication

Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de réalisation de l’autre. Le fait d’être indépendants ne signifie ni qu’ils sont incompatibles ni qu’ils ont la même probabilité.

Question 4

4. Quelle égalité caractérise l’indépendance de $A$ et $B$ lorsque leurs probabilités sont non nulles ?

P_A(B)=P(B)

P_A(B)=P(A)

P_A(B)=P(A\cap B)

P_A(B)=1-P(B)

Explication

L’indépendance signifie que la probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ reste égale à la probabilité simple de $B$ . L’égalité avec $P(A)$ ne constitue pas le critère d’indépendance, car elle compare deux événements différents.

Question 5

5. Quelle relation permet d’établir que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants ?

P(A\cap B)=P(A)+P(B)

P(A\cap B)=P(A)-P(B)

P(A\cap B)=P(A)\times P(B)

P(A\cap B)=P(A)\div P(B)

Explication

L’indépendance est équivalente à la relation $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ . La connaissance de l’intersection seule ne suffit pas : elle doit être comparée au produit des probabilités individuelles.

Question 6

6. Que représentent les deux niveaux principaux d’un arbre de probabilités pondéré dans une expérience comportant $A$ et son contraire ?

Le premier niveau représente les probabilités conditionnelles, puis le second

A

et son contraire

Le premier niveau représente

A

et son contraire, puis le second leurs probabilités conditionnelles

Les deux niveaux représentent les probabilités simples de deux événements sans conditionnement

Le premier niveau représente les intersections, puis le second les probabilités des événements contraires

Explication

Le premier niveau contient les probabilités de $A$ et de $\bar A$ , tandis que le second contient les probabilités conditionnelles associées à ces deux cas. Inverser ces rôles conduit à mal lire les pondérations de l’arbre.

Question 7

7. Dans un arbre de probabilités pondéré, quelle somme vaut 1 ?

La somme des probabilités des branches appartenant à un seul chemin

La somme des probabilités de tous les chemins allant jusqu’aux extrémités

La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud

La somme des probabilités conditionnelles placées à des niveaux différents

Explication

À partir d’un même nœud, les branches représentent les issues possibles et leurs probabilités ont une somme égale à 1. La somme de toutes les probabilités de chemins dépend de la manière dont les chemins couvrent l’expérience et ne constitue pas la règle locale visée.

Question 8

8. Comment calcule-t-on la probabilité d’un chemin dans un arbre pondéré ?

En additionnant les probabilités des branches qui composent ce chemin

En soustrayant la probabilité de chaque branche de la probabilité du nœud initial

En divisant la probabilité de la première branche par celle de la dernière

En multipliant les probabilités des branches qui composent ce chemin

Explication

La probabilité d’un chemin, qui correspond à l’intersection des événements rencontrés, est le produit des probabilités de ses branches successives. L’addition sert notamment à regrouper plusieurs chemins menant à un même événement.

QCM : Probabilités conditionnelles et indépendance (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment la formule des probabilités totales permet-elle de calculer la probabilité d’un événement ?

2. Si $P(A)=0,6$ , $P_A(B)=0,4$ et $P_{\bar A}(B)=0,1$ , quelle est la valeur de $P(B)$ ?

3. Que signifie l’indépendance de deux événements $A$ et $B$ ?

4. Quelle égalité caractérise l’indépendance de $A$ et $B$ lorsque leurs probabilités sont non nulles ?

5. Quelle relation permet d’établir que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants ?

6. Que représentent les deux niveaux principaux d’un arbre de probabilités pondéré dans une expérience comportant $A$ et son contraire ?

7. Dans un arbre de probabilités pondéré, quelle somme vaut 1 ?

8. Comment calcule-t-on la probabilité d’un chemin dans un arbre pondéré ?

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QCM : Probabilités conditionnelles et indépendance (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment la formule des probabilités totales permet-elle de calculer la probabilité d’un événement ?

2. Si P(A)=0,6P(A)=0,6P(A)=0,6, PA(B)=0,4P_A(B)=0,4PA​(B)=0,4 et PAˉ(B)=0,1P_{\bar A}(B)=0,1PAˉ​(B)=0,1, quelle est la valeur de P(B)P(B)P(B) ?

3. Que signifie l’indépendance de deux événements AAA et BBB ?

4. Quelle égalité caractérise l’indépendance de AAA et BBB lorsque leurs probabilités sont non nulles ?

5. Quelle relation permet d’établir que deux événements AAA et BBB sont indépendants ?

6. Que représentent les deux niveaux principaux d’un arbre de probabilités pondéré dans une expérience comportant AAA et son contraire ?

7. Dans un arbre de probabilités pondéré, quelle somme vaut 1 ?

8. Comment calcule-t-on la probabilité d’un chemin dans un arbre pondéré ?

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3. Que signifie l’indépendance de deux événements $A$ et $B$ ?

4. Quelle égalité caractérise l’indépendance de $A$ et $B$ lorsque leurs probabilités sont non nulles ?

5. Quelle relation permet d’établir que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants ?

6. Que représentent les deux niveaux principaux d’un arbre de probabilités pondéré dans une expérience comportant $A$ et son contraire ?