Fiche de révision : Probabilités conditionnelles et indépendance

📋 Plan du Cours

1. Formule des probabilités totales
2. Événements indépendants
3. Arbre de probabilités pondéré

📖 1. Formule des probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule des probabilités totales : Donne la probabilité d’un événement comme la somme des probabilités des chemins qui mènent à cet événement.

★ À maîtriser

📐 Formule - La probabilité de B vérifie $P(B)=P(A\cap B)+P(\bar A\cap B)=P(A)\times P_A(B)+P(\bar A)\times P_{\bar A}(B)$.

Compléments

• Dans l’exemple météorologique, on obtient $P(B)=0{,}85\times 0{,}70+0{,}15\times 0{,}20=0{,}625$.

💡 Astuce mémo

Chemins disjoints → somme des probabilités

📖 2. Événements indépendants

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements indépendants : Deux événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation de A n’influence pas la probabilité de réalisation de B, et réciproquement.

★ À maîtriser

📐 Formule - Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

📌 Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si $P_A(B)=P(B)$ ou $P_B(A)=P(A)$, avec $P(A)\ne 0$ et $P(B)\ne 0$.

Compléments

• Pour un dé équilibré numéroté de 1 à 6, les événements A « obtenir un chiffre impair » et B « obtenir un chiffre strictement inférieur à 3 » constituent un exemple à utiliser pour montrer l’indépendance.

💡 Astuce mémo

Indépendance : A n’influence pas B, et B n’influence pas A

📖 3. Arbre de probabilités pondéré

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre de probabilités pondéré : Modélise une expérience aléatoire en associant au premier niveau les probabilités de A et de son contraire, puis au second niveau les probabilités conditionnelles liées à A et à son contraire.
• Branche, nœud et chemin : Dans un arbre pondéré, une branche relie deux événements, un nœud est le croisement entre plusieurs branches et un chemin est une succession de branches allant du nœud initial à une extrémité de l’arbre.

★ À maîtriser

• La probabilité d’un chemin, correspondant à l’intersection des événements rencontrés, est égale au produit des probabilités des branches qui le composent.

📌 La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.

Compléments

• Dans l’exemple météorologique, $P(\bar A)=1-P(A)=1-0{,}85=0{,}15$, $P_A(\bar B)=1-0{,}70=0{,}30$ et $P_{\bar A}(\bar B)=1-0{,}20=0{,}80$.

• Dans l’exemple météorologique, la probabilité de l’intersection A et B est $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=0{,}85\times 0{,}70=0{,}595$.

💡 Astuce mémo

Branche → chemin → intersection