Fiche de révision : Probabilités conditionnelles et indépendance

📋 Plan du Cours

1. Probabilités conditionnelles
2. Famille complète et probabilités totales
3. Arbres pondérés
4. Indépendance d'événements

📖 1. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité de B sachant A : Probabilité conditionnelle qui mesure la chance de réaliser B lorsque A est déjà réalisée.
• Événement complémentaire : Ensemble des issues où l’événement ne se réalise pas, noté avec une barre au-dessus.

📝 Points essentiels

• Si p(A) ≠ 0, alors pA(B) = p(A∩B) / p(A).
• La probabilité conditionnelle vérifie pA(B) = 1 − pA(B̅).
• On a p(B∩A) = pA(B) × p(A).
• Si p(B) ≠ 0, alors p(A∩B) = pB(A) × p(B).
• Dans l’exemple, p(G∩L) = 1/35 et pG(L) = (1/35) / (20/35) = 1/20.

💡 Astuce mémo

pA(B) = p(A∩B) sur p(A) : on “divise par le fait que A est déjà vrai”.

📖 2. Famille complète et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille complète : Famille d’événements deux à deux disjoints dont la réunion est l’univers Ω.
• Partition de Ω : Cas particulier où les événements sont deux à deux disjoints et couvrent exactement Ω.

📝 Points essentiels

• Si A1,…,An est une famille complète, alors p(B) = Σk p(B∩Ak).
• Avec une famille complète, p(B) = Σk pAk(B) × p(Ak).
• Pour tout A et B, p(B) = p(B∩A) + p(B∩A̅).
• Pour tout A et B, p(B) = pA(B)×p(A) + pA̅(B)×p(A̅).

💡 Astuce mémo

Totaux = “somme des cas” : on découpe l’univers avec une famille complète puis on additionne.

📖 3. Arbres pondérés

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre pondéré : Arbre où chaque branche porte une probabilité comprise entre 0 et 1.
• Sommet : Point correspondant à la réunion des nœuds de l’arbre.
• Nœud : Point où partent des branches dans l’arbre.

📝 Points essentiels

• La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut 1.
• La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.
• Dans un arbre pondéré, l’expérience est modélisée en propageant des probabilités sur les choix successifs.

💡 Astuce mémo

Chemin = “produit” : la probabilité suit le chemin par multiplications successives.

📖 4. Indépendance d'événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance d’événements : Situation où la probabilité de l’intersection vaut le produit des probabilités individuelles.

📝 Points essentiels

• A et B sont indépendants si et seulement si p(A∩B) = p(A)×p(B).
• Si A et B sont indépendants, alors A est indépendant de B.
• Si A et B sont indépendants, alors B est indépendant de A.
• Si deux expériences sont indépendantes, la probabilité du couple de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.
• Dans l’exemple, p(A∩B) = 0,49 quand p(A)=0,7 et p(B)=0,7.

💡 Astuce mémo

Test rapide : indépendance ⇔ “intersection = produit”.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre pA(B) et pB(A) : ils correspondent à des conditions différentes.
2. Oublier la condition p(A) ≠ 0 pour définir pA(B).
3. Se tromper de complément : A̅ désigne les cas où A ne se produit pas.
4. Croire qu’une famille complète implique une somme unique sans intersection : le cours impose p(B∩Ak).
5. Penser qu’un arbre pondéré garantit automatiquement une structure d’indépendance entre événements.
6. Utiliser la formule d’indépendance sans vérifier p(A∩B) = p(A)×p(B).
7. Calculer la probabilité d’un chemin en additionnant les branches au lieu de multiplier les probabilités.

✅ Checklist Examen

1. Définir pA(B) et préciser l’exigence p(A) ≠ 0 pour utiliser la formule.
2. Calculer p(A∩B) à partir de pA(B) et p(A).
3. Utiliser la relation pA(B) = 1 − pA(B̅) pour une condition donnée.
4. Appliquer la formule symétrique p(A∩B) = pB(A)×p(B) lorsque p(B) ≠ 0.
5. Reconnaître une famille complète : disjoint deux à deux et réunion égale à Ω.
6. Écrire p(B) = Σk p(B∩Ak) pour une famille complète.
7. Écrire p(B) = Σk pAk(B)×p(Ak) pour une famille complète.
8. Utiliser le cas particulier p(B)=p(B∩A)+p(B∩A̅) et la version en probabilités conditionnelles.
9. Décrire un arbre pondéré : probabilités sur branches, somme 1 à chaque nœud.
10. Calculer la probabilité d’un chemin comme produit des probabilités des branches.
11. Donner le critère d’indépendance p(A∩B) = p(A)×p(B).
12. Conclure que l’indépendance est symétrique à partir des propriétés données.
13. Calculer p(A∩B) et/ou pA(B), pB(A) dans un exemple numérique d’indépendance.