QCM : Probabilités en santé — 33 questions

Questions et réponses du QCM

1. À propos de l’utilisation des probabilités en estimation :

Un intervalle de confiance à 95 % fournit directement la fréquence observée dans chaque échantillon.
Les probabilités peuvent servir à estimer une proportion dans une population étudiée.
Une proportion réelle est estimée sans incertitude lorsqu’un intervalle de confiance est calculé.
Un intervalle de confiance à 95 % est conçu pour contenir la proportion réelle avec une probabilité de 0,95.
Un intervalle de confiance à 95 % indique que 95 % des individus de la population sont malades.

Les probabilités peuvent servir à estimer une proportion dans une population étudiée. · Un intervalle de confiance à 95 % est conçu pour contenir la proportion réelle avec une probabilité de 0,95.

Explication

Un intervalle de confiance à 95 % sert à estimer une proportion et est généralement conçu pour contenir la valeur réelle avec une probabilité de 0,95. Il ne décrit pas directement la proportion d’individus malades.

2. Une expérience peut être qualifiée d’épreuve lorsqu’elle :

Repose sur une expérience dont l’issue est soumise au hasard.
Permet de connaître avec certitude le résultat avant l’observation.
Associe nécessairement plusieurs résultats observables.
Produit un résultat aléatoire dû au hasard.
Fournit un résultat déterminé avant toute réalisation.

Repose sur une expérience dont l’issue est soumise au hasard. · Produit un résultat aléatoire dû au hasard.

Explication

Une épreuve est une expérience dont le résultat est aléatoire, donc soumis au hasard. Une expérience dont le résultat est fixé à l’avance ne correspond pas à cette définition.

3. Concernant la définition d’un événement dans une épreuve :

Un événement est un sous-ensemble de l’ensemble E des événements élémentaires.
Un événement peut regrouper plusieurs résultats élémentaires d’une épreuve.
Un événement est défini indépendamment de l’ensemble des résultats élémentaires.
Un événement correspond nécessairement à l’ensemble complet E.
Un événement est une expérience dont le résultat dépend du hasard.

Un événement est un sous-ensemble de l’ensemble E des événements élémentaires. · Un événement peut regrouper plusieurs résultats élémentaires d’une épreuve.

Explication

Un événement est un sous-ensemble de l’ensemble E des événements élémentaires associés à une épreuve. Il n’est donc pas nécessairement limité à un résultat unique.

4. Concernant les opérations entre événements :

L’union A ∪ B correspond à la réalisation de A, de B ou des deux.
Pour deux événements incompatibles, leur intersection est vide.
Deux événements incompatibles peuvent se réaliser simultanément dans une même épreuve.
L’union de deux événements exclut la situation où les deux sont réalisés.
L’intersection A ∩ B correspond à la réalisation simultanée de A et de B.

L’union A ∪ B correspond à la réalisation de A, de B ou des deux. · Pour deux événements incompatibles, leur intersection est vide. · L’intersection A ∩ B correspond à la réalisation simultanée de A et de B.

Explication

L’intersection traduit la réalisation simultanée de A et de B, tandis que l’union correspond à A, à B ou aux deux. Les événements incompatibles ont une intersection vide et ne peuvent pas se réaliser ensemble.

5. À propos des relations et opérations entre événements :

Le contraire de « A et B sont réalisés » signifie qu’au moins l’un des deux ne l’est pas.
Deux événements indépendants ont nécessairement une intersection vide.
Le contraire de « A et B sont réalisés » signifie qu’aucun des deux ne l’est.
Deux événements sont incompatibles lorsque leur intersection est vide.
Si A est inclus dans B, tous les résultats de A appartiennent à B.

Le contraire de « A et B sont réalisés » signifie qu’au moins l’un des deux ne l’est pas. · Deux événements sont incompatibles lorsque leur intersection est vide. · Si A est inclus dans B, tous les résultats de A appartiennent à B.

Explication

L’incompatibilité est caractérisée par une intersection vide et interdit la réalisation simultanée des deux événements. L’inclusion signifie que tous les résultats de A appartiennent à B, tandis que le contraire de « A et B » est « au moins l’un des deux n’est pas réalisé ».

6. Le contraire de « A et B sont réalisés » correspond à :

La réalisation simultanée de A et de B.
La réalisation de B sans celle de A.
La non-réalisation simultanée de A et de B.
La non-réalisation d’au moins un des deux événements.
La réalisation de A sans celle de B.

La réalisation de B sans celle de A. · La non-réalisation d’au moins un des deux événements. · La réalisation de A sans celle de B.

Explication

Le contraire de la réalisation simultanée de A et B est l’absence d’au moins un des deux événements, ce qui inclut les cas où un seul ou les deux ne sont pas réalisés. Il ne se limite donc pas à la non-réalisation conjointe des deux événements.

7. À propos des probabilités du contraire et conditionnelles :

La probabilité du contraire de A vérifie Pr(A‾)=Pr(A)−1Pr(\overline{A})=Pr(A)-1.
La probabilité conditionnelle de A sachant B utilise Pr(A∩B)Pr(A\cap B) et Pr(B)Pr(B).
La probabilité Pr(A∣B)Pr(A|B) est définie par Pr(A)Pr(B)\frac{Pr(A)}{Pr(B)}.
La probabilité du contraire de A est calculée en ajoutant les probabilités de A et de B.
La probabilité du contraire de A vérifie Pr(A‾)=1−Pr(A)Pr(\overline{A})=1-Pr(A).

La probabilité conditionnelle de A sachant B utilise $$Pr(A\cap B)$$ et $$Pr(B)$$. · La probabilité du contraire de A vérifie $$Pr(\overline{A})=1-Pr(A)$$.

Explication

La probabilité du contraire est obtenue en soustrayant la probabilité de l’événement à 1. La probabilité conditionnelle, elle, utilise l’intersection et la probabilité de l’événement conditionnant.

8. Concernant les probabilités conditionnelles et leur interprétation :

La probabilité de A sachant B vérifie Pr(A∣B)=Pr(A∩B)Pr(B)Pr(A|B)=\frac{Pr(A\cap B)}{Pr(B)}.
La probabilité Pr(A∣B)Pr(A|B) décrit A sans tenir compte de la condition B.
Deux événements incompatibles sont nécessairement indépendants dès que leurs probabilités sont positives.
Deux événements indépendants vérifient Pr(A∩B)=Pr(A)×Pr(B)Pr(A\cap B)=Pr(A)\times Pr(B).
Pour une maladie touchant 5 % de la population, la probabilité d’être malade sachant un test positif vaut 0,43 dans l’exemple donné.

La probabilité de A sachant B vérifie $$Pr(A|B)=\frac{Pr(A\cap B)}{Pr(B)}$$. · Deux événements indépendants vérifient $$Pr(A\cap B)=Pr(A)\times Pr(B)$$. · Pour une maladie touchant 5 % de la population, la probabilité d’être malade sachant un test positif vaut 0,43 dans l’exemple donné.

Explication

La probabilité conditionnelle de A sachant B est le rapport entre la probabilité de l’intersection et celle de B. Dans l’exemple donné, l’application des probabilités de maladie, de test positif chez les malades et chez les sujets sains conduit à une probabilité de 0,43.

9. Concernant les variables aléatoires discrètes :

Une variable aléatoire réelle associe un nombre réel à chaque événement élémentaire.
La somme des probabilités d’une variable aléatoire discrète vaut 1.
Les probabilités d’une variable discrète peuvent prendre des valeurs négatives.
Une variable aléatoire discrète peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle.
Le nombre de malades constitue un exemple de variable aléatoire discrète.

Une variable aléatoire réelle associe un nombre réel à chaque événement élémentaire. · La somme des probabilités d’une variable aléatoire discrète vaut 1. · Le nombre de malades constitue un exemple de variable aléatoire discrète.

Explication

Une variable aléatoire réelle associe un nombre réel à chaque événement élémentaire. Elle est discrète lorsque ses valeurs sont dénombrables, et les probabilités associées doivent être comprises entre 0 et 1 et avoir une somme égale à 1.

10. Parmi les propositions suivantes concernant la distinction entre variables discrètes et continues, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le nombre de malades est une variable aléatoire continue.
Une variable aléatoire continue prend des valeurs dénombrables.
Une variable continue peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle.
Le taux de cholestérol est une variable aléatoire continue.
Une variable aléatoire discrète prend des valeurs dénombrables.

Une variable continue peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle. · Le taux de cholestérol est une variable aléatoire continue. · Une variable aléatoire discrète prend des valeurs dénombrables.

Explication

Une variable discrète prend des valeurs dénombrables, contrairement à une variable continue qui peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle. Le nombre de malades est discret, tandis que le taux de cholestérol est continu.

11. Concernant les propriétés numériques d’une variable aléatoire discrète, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’écart type est la racine carrée de la variance.
Chaque probabilité vérifie 0≤pi≤10\leq p_i\leq 1.
La somme des probabilités associées vaut 1.
L’espérance s’écrit E(X)=∑ixipiE(X)=\sum_i x_i p_i.
L’espérance d’une variable discrète s’écrit E(X)=∑ixipiE(X)=\sum_i \frac{x_i}{p_i}.

L’écart type est la racine carrée de la variance. · Chaque probabilité vérifie $$0\leq p_i\leq 1$$. · La somme des probabilités associées vaut 1. · L’espérance s’écrit $$E(X)=\sum_i x_i p_i$$.

Explication

Les probabilités d’une variable discrète vérifient 0≤pi≤10\leq p_i\leq 1 et leur somme vaut 1. L’espérance est une somme pondérée des valeurs par leurs probabilités, tandis que l’écart type est la racine carrée de la variance.

12. À propos des lois de Bernoulli et binomiale :

Une loi binomiale nécessite des essais de Bernoulli indépendants.
Une loi de Bernoulli décrit un seul essai aléatoire.
Une loi de Bernoulli attribue les probabilités pp et 1−p1-p aux valeurs 1 et 0.
Une loi de Bernoulli additionne les succès de plusieurs essais indépendants.
Une loi binomiale compte les succès obtenus parmi plusieurs essais.

Une loi binomiale nécessite des essais de Bernoulli indépendants. · Une loi de Bernoulli décrit un seul essai aléatoire. · Une loi de Bernoulli attribue les probabilités $$p$$ et $$1-p$$ aux valeurs 1 et 0. · Une loi binomiale compte les succès obtenus parmi plusieurs essais.

Explication

Une loi de Bernoulli décrit un seul essai dont les issues codées 1 et 0 ont les probabilités pp et 1−p1-p. La loi binomiale concerne plusieurs essais indépendants et compte le nombre de succès.

13. Concernant une variable suivant une loi binomiale, quelle(s) est(sont) la(les) proposition(s) exacte(s) ?

Son espérance vaut pp, quel que soit le nombre d’essais.
Chaque essai possède une probabilité de succès pp.
Son espérance vaut npnp.
Sa variance vaut np(1−p)np(1-p).
Elle compte les succès obtenus parmi nn essais de Bernoulli indépendants.

Chaque essai possède une probabilité de succès $$p$$. · Son espérance vaut $$np$$. · Sa variance vaut $$np(1-p)$$. · Elle compte les succès obtenus parmi $$n$$ essais de Bernoulli indépendants.

Explication

Une loi binomiale modélise le nombre de succès parmi nn essais de Bernoulli indépendants, chacun ayant une probabilité de succès pp. Son espérance vaut npnp et sa variance vaut np(1−p)np(1-p).

14. Concernant les formules des lois de Bernoulli et binomiale, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Pour une loi binomiale, la variance vaut np(1−p)np(1-p).
Pour une loi binomiale, l’espérance vaut npnp.
Pour une loi binomiale, Pr(X>k)=Pr(X≤k)Pr(X>k)=Pr(X\leq k).
Pour une loi de Bernoulli, la variance vaut p(1−p)p(1-p).
Pour une loi de Bernoulli, l’espérance vaut pp.

Pour une loi binomiale, la variance vaut $$np(1-p)$$. · Pour une loi binomiale, l’espérance vaut $$np$$. · Pour une loi de Bernoulli, la variance vaut $$p(1-p)$$. · Pour une loi de Bernoulli, l’espérance vaut $$p$$.

Explication

Pour une loi binomiale de paramètres nn et pp, l’espérance est npnp et la variance est np(1−p)np(1-p). La relation complémentaire donne Pr(X>k)=1−Pr(X≤k)Pr(X>k)=1-Pr(X\leq k).

15. Concernant les conditions d’utilisation de la loi de Poisson, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

L’approximation de Poisson exige notamment n≥30n\geq 30.
La loi de Poisson peut modéliser des événements rares observés pendant une période.
Une loi binomiale peut être approximée lorsque nn est très grand.
Son paramètre repose sur le nombre moyen d’événements observés.
L’approximation impose que npnp soit fini et inférieur à 3.

La loi de Poisson peut modéliser des événements rares observés pendant une période. · Une loi binomiale peut être approximée lorsque $$n$$ est très grand. · Son paramètre repose sur le nombre moyen d’événements observés. · L’approximation impose que $$np$$ soit fini et inférieur à 3.

Explication

La loi de Poisson modélise un nombre d’événements observés pendant une période à partir d’un nombre moyen, notamment lorsque les événements sont rares. Pour une loi binomiale, l’approximation de Poisson s’utilise lorsque nn est très grand, pp ou qq très petit, avec λ=np\lambda=np et np<3np<3.

16. Parmi les propositions suivantes concernant une loi de Poisson, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Une moyenne de dix fractures conduit à un paramètre binomial égal à 10.
Dix fractures attendues par week-end correspondent à λ=10\lambda=10.
Pour une loi de Poisson, Pr(X=0)=eλPr(X=0)=e^{\lambda}.
Pour une loi de paramètre λ\lambda, Pr(X=0)=e−λPr(X=0)=e^{-\lambda}.
Pour λ=10\lambda=10, la probabilité de zéro événement vaut e−10e^{-10}.

Dix fractures attendues par week-end correspondent à $$\lambda=10$$. · Pour une loi de paramètre $$\lambda$$, $$Pr(X=0)=e^{-\lambda}$$. · Pour $$\lambda=10$$, la probabilité de zéro événement vaut $$e^{-10}$$.

Explication

Si XX suit une loi de Poisson de paramètre λ\lambda, la probabilité d’observer zéro événement est e−λe^{-\lambda}. Avec une moyenne de 10 fractures par week-end, le paramètre correspondant est donc λ=10\lambda=10.

17. À propos de l’interprétation d’une loi de Poisson dans une situation de surveillance, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La loi de Poisson peut s’appuyer sur un nombre moyen d’événements connu.
Dix fractures moyennes par week-end correspondent à λ=3\lambda=3.
La loi de Poisson nécessite les paramètres nn et pp d’une loi binomiale.
Après 10 000 prescriptions sans effet observé, le risque maximal est environ 3/10 0003/10\,000.
L’approximation utilisée correspond à environ 3/N3/N pour N=10 000N=10\,000.

La loi de Poisson peut s’appuyer sur un nombre moyen d’événements connu. · Après 10 000 prescriptions sans effet observé, le risque maximal est environ $$3/10\,000$$. · L’approximation utilisée correspond à environ $$3/N$$ pour $$N=10\,000$$.

Explication

Après N=10 000N=10\,000 prescriptions sans effet indésirable, le risque maximal compatible avec une probabilité de 5 % d’observer zéro effet est approximativement 3/N=3/10 0003/N=3/10\,000. La loi de Poisson utilise alors un nombre moyen d’événements, et non nécessairement les paramètres nn et pp d’une loi binomiale.

18. Un service observe en moyenne 10 fractures traitées par week-end. Quelles sont les réponses exactes au sujet du week-end suivant ?

La probabilité d’observer zéro fracture vaut e−10e^{-10}.
La situation est décrite par une loi de Bernoulli de paramètre 10.
Le nombre de fractures peut être modélisé par une loi de Poisson.
Le paramètre de cette loi est λ=10\lambda=10.
La probabilité de zéro fracture vaut e10e^{10}.

La probabilité d’observer zéro fracture vaut $$e^{-10}$$. · Le nombre de fractures peut être modélisé par une loi de Poisson. · Le paramètre de cette loi est $$\lambda=10$$.

Explication

Dans l’exemple donné, une moyenne de 10 fractures par week-end définit le paramètre λ=10\lambda=10 de la loi de Poisson. La probabilité de zéro événement suit alors la formule Pr(X=0)=e−λPr(X=0)=e^{-\lambda}, et non eλe^{\lambda}.

19. Concernant les variables aléatoires continues :

Une variable continue attribue une probabilité positive à chaque valeur isolée.
La fonction de répartition donne la densité en chaque point.
La probabilité d’une valeur précise est nulle pour une variable continue.
La fonction de répartition donne la probabilité que X≤xX\leq x.
La probabilité d’un intervalle est toujours nulle pour une variable continue.

La probabilité d’une valeur précise est nulle pour une variable continue. · La fonction de répartition donne la probabilité que $$X\leq x$$.

Explication

Pour une variable continue, une valeur isolée a une probabilité nulle, tandis qu’un intervalle peut avoir une probabilité non nulle. La fonction de répartition donne la probabilité cumulée jusqu’à une valeur donnée.

20. Parmi les propositions suivantes concernant une variable aléatoire continue, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La probabilité de [x1,x2][x_1,x_2] vaut F(x1)−F(x2)F(x_1)-F(x_2).
La probabilité de [x1,x2][x_1,x_2] vaut F(x2)−F(x1)F(x_2)-F(x_1).
La fonction de répartition est obtenue par dérivation de la densité.
La densité fournit directement la probabilité cumulée jusqu’à xx.
La densité peut s’écrire f(x)=F′(x)f(x)=F'(x) lorsque la dérivée existe.

La probabilité de $$[x_1,x_2]$$ vaut $$F(x_2)-F(x_1)$$. · La densité peut s’écrire $$f(x)=F'(x)$$ lorsque la dérivée existe.

Explication

La probabilité d’un intervalle se calcule par différence des valeurs de la fonction de répartition aux deux bornes. La densité, lorsqu’elle existe, correspond à la dérivée de cette fonction, et non à sa valeur cumulée.

21. À propos des transformations et sommes de variables aléatoires continues, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Pour Y=aX+bY=aX+b, on a E(Y)=aE(X)+bE(Y)=aE(X)+b.
La variance de aX+baX+b vaut aVar(X)+baVar(X)+b.
Pour Y=aX+bY=aX+b, on a Var(Y)=a2Var(X)Var(Y)=a^2Var(X).
Pour des variables indépendantes, Var(X+Y)=Var(X)−Var(Y)Var(X+Y)=Var(X)-Var(Y).
L’indépendance impose que E(X+Y)=E(X)E(Y)E(X+Y)=E(X)E(Y).

Pour $$Y=aX+b$$, on a $$E(Y)=aE(X)+b$$. · Pour $$Y=aX+b$$, on a $$Var(Y)=a^2Var(X)$$.

Explication

La transformation affine donne E(Y)=aE(X)+bE(Y)=aE(X)+b et Var(Y)=a2Var(X)Var(Y)=a^2Var(X). Pour des variables indépendantes, les variances d’une somme s’additionnent.

22. Concernant les variances de variables aléatoires continues, quelles sont les réponses exactes au sujet de ces règles ?

La variance d’une somme indépendante dépend de la différence des variances.
L’indépendance conduit à Var(X+Y)=Var(X)Var(Y)Var(X+Y)=Var(X)Var(Y).
La constante additive bb multiplie la variance de aX+baX+b.
La variance de aX+baX+b est a2Var(X)a^2Var(X).
L’indépendance permet d’écrire Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y).

La variance de $$aX+b$$ est $$a^2Var(X)$$. · L’indépendance permet d’écrire $$Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$$.

Explication

Si les variables sont indépendantes, la variance de leur somme est la somme de leurs variances. L’espérance et la variance d’une transformation affine suivent des formules différentes, notamment à cause du carré de aa dans la variance.

23. Concernant la loi normale :

Sa densité est symétrique autour de la moyenne μ\mu.
L’intervalle μ±3σ\mu\pm3\sigma contient environ 95,45 % des valeurs.
L’intervalle μ±σ\mu\pm\sigma contient environ 95,45 % des valeurs.
Sa représentation graphique possède une forme en cloche.
Une loi normale est caractérisée par une densité bimodale.

Sa densité est symétrique autour de la moyenne $$\mu$$. · Sa représentation graphique possède une forme en cloche.

Explication

Une loi normale est continue, unimodale et symétrique autour de sa moyenne, avec une courbe en cloche. Les pourcentages associés à un, deux et trois écarts-types sont respectivement 68,27 %, 95,45 % et 99,73 %.

24. Parmi les propositions suivantes concernant les approximations usuelles, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

L’intervalle μ±3σ\mu\pm3\sigma contient environ 99,73 % des valeurs.
L’intervalle μ±2σ\mu\pm2\sigma contient environ 95,45 % des valeurs.
L’intervalle μ±σ\mu\pm\sigma contient environ 68,27 % des valeurs.
Une loi binomiale est approximée dès que n≥10n\geq10.
L’approximation binomiale exige np≥10np\geq10 et n(1−p)≥10n(1-p)\geq10.

L’intervalle $$\mu\pm3\sigma$$ contient environ 99,73 % des valeurs. · L’intervalle $$\mu\pm2\sigma$$ contient environ 95,45 % des valeurs. · L’intervalle $$\mu\pm\sigma$$ contient environ 68,27 % des valeurs.

Explication

Les intervalles centrés sur la moyenne contiennent respectivement 68,27 %, 95,45 % et 99,73 % des valeurs pour un, deux et trois écarts-types. Les seuils de l’approximation normale de la loi binomiale sont n≥30n\geq30, np≥5np\geq5 et n(1−p)≥5n(1-p)\geq5.

25. Une loi binomiale de paramètres nn et pp peut être approximée par une loi normale lorsque :

Le produit vérifie n(1−p)≥5n(1-p)\geq5.
Les deux produits vérifient chacun une valeur minimale de 10.
Le produit vérifie np≥5np\geq5.
La taille vérifie n≥30n\geq30.
La taille vérifie n≥20n\geq20.

Le produit vérifie $$n(1-p)\geq5$$. · Le produit vérifie $$np\geq5$$. · La taille vérifie $$n\geq30$$.

Explication

L’approximation normale d’une loi binomiale est retenue lorsque les trois conditions sont satisfaites : n≥30n\geq30, np≥5np\geq5 et n(1−p)≥5n(1-p)\geq5. Les conditions portant sur les produits sont donc distinctes de la seule taille de l’échantillon.

26. Concernant la loi normale centrée réduite, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Elle possède une moyenne égale à 1.
Elle est notée N(0,1)N(0,1).
Son écart type est égal à 1.
Son écart type est égal à 0.
Elle possède une moyenne égale à 0.

Elle est notée $$N(0,1)$$. · Son écart type est égal à 1. · Elle possède une moyenne égale à 0.

Explication

La loi normale centrée réduite est notée N(0,1)N(0,1) : sa moyenne vaut 0 et son écart type vaut 1. Une loi normale générale n’a pas nécessairement ces deux paramètres.

27. Si XX suit une loi normale de moyenne μ\mu et d’écart type σ\sigma, quelles propositions sont exactes ?

La variable standardisée conserve une moyenne égale à μ\mu.
La variable UU suit la loi N(0,1)N(0,1).
La variable XX suit nécessairement N(0,1)N(0,1) avant transformation.
La variable standardisée est U=X−μσU=\frac{X-\mu}{\sigma}.
La standardisation s’écrit U=X+μσU=\frac{X+\mu}{\sigma}.

La variable $$U$$ suit la loi $$N(0,1)$$. · La variable standardisée est $$U=\frac{X-\mu}{\sigma}$$.

Explication

La standardisation d’une variable normale utilise U=(X−μ)/σU=(X-\mu)/\sigma, et la variable obtenue suit N(0,1)N(0,1). La transformation correcte soustrait la moyenne puis divise par l’écart type.

28. Pour une variable UU suivant N(0,1)N(0,1) et pour u≥0u\geq0, quelles propositions sont exactes ?

La probabilité Pr(0<U)Pr(0<U) vaut 14\frac14.
On a Pr(0<U)=12Pr(0<U)=\frac12.
On a Pr(U<−u)=Pr(U>u)Pr(U<-u)=Pr(U>u).
Les probabilités de queue peuvent s’écrire α/2\alpha/2.
On a Pr(U<−u)=2Pr(U>u)Pr(U<-u)=2Pr(U>u).

On a $$Pr(0<U)=\frac12$$. · On a $$Pr(U<-u)=Pr(U>u)$$. · Les probabilités de queue peuvent s’écrire $$\alpha/2$$.

Explication

La symétrie de N(0,1)N(0,1) donne Pr(U<−u)=Pr(U>u)Pr(U<-u)=Pr(U>u) pour u≥0u\geq0, et chaque probabilité de queue vaut α/2\alpha/2 dans la notation indiquée. La moitié de la distribution se situe au-dessus de zéro.

29. Concernant le calcul des probabilités avec une loi normale, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La standardisation d’une borne utilise x+μσ\frac{x+\mu}{\sigma}.
Pour une moyenne de 2,0 g/l et un écart type de 0,2 g/l, Pr(X<2,2)Pr(X<2,2) vaut environ 0,84.
Avec ces paramètres, 2,22,2 g/l correspond à deux écarts types au-dessus de la moyenne.
La probabilité d’être inférieur à 2,2 g/l vaut environ 0,50 dans cet exemple.
On peut écrire Pr(X≤x)=Pr(U≤x−μσ)Pr(X\leq x)=Pr\left(U\leq\frac{x-\mu}{\sigma}\right).

Pour une moyenne de 2,0 g/l et un écart type de 0,2 g/l, $$Pr(X<2,2)$$ vaut environ 0,84. · On peut écrire $$Pr(X\leq x)=Pr\left(U\leq\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$$.

Explication

Pour une variable normale, le calcul d’une probabilité cumulée passe par la standardisation de la borne : Pr(X≤x)=Pr(U≤(x−μ)/σ)Pr(X\leq x)=Pr(U\leq(x-\mu)/\sigma). Dans l’exemple numérique, 2,22,2 est situé à un écart type au-dessus de la moyenne, ce qui donne environ 0,84.

30. Concernant l’utilisation de la loi normale centrée réduite et des intervalles associés :

Une valeur doit être standardisée avant sa lecture dans la table de N(0,1).
La symétrie de la loi normale peut être utilisée pour compléter une lecture de table.
L’intervalle m ± σ contient environ 95 % des valeurs normales.
L’intervalle m ± 1,96σ contient environ 68,27 % des valeurs normales.
La probabilité centrale Pr(|U| ≤ u) = 0,95 correspond à u = 1,96.

Une valeur doit être standardisée avant sa lecture dans la table de N(0,1). · La symétrie de la loi normale peut être utilisée pour compléter une lecture de table. · La probabilité centrale Pr(|U| ≤ u) = 0,95 correspond à u = 1,96.

Explication

La standardisation précède la lecture de la table, et la symétrie permet d’obtenir les probabilités de l’autre côté. Pour une probabilité centrale de 0,95, la valeur critique est 1,96, tandis que 1 écart type correspond environ à 68,27 %.

31. Parmi les propositions suivantes concernant la valeur critique de la loi normale centrée réduite, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La valeur u = 1,96 est utilisée pour construire m ± 1,96σ.
La valeur u = 1,96 délimite une probabilité centrale de 95 %.
La valeur vérifiant Pr(|U| ≤ u) = 0,95 est u = 1,96.
La valeur u = 1,96 correspond à l’intervalle m ± σ.
La valeur vérifiant Pr(|U| ≤ u) = 0,95 est u = 1,645.

La valeur u = 1,96 est utilisée pour construire m ± 1,96σ. · La valeur u = 1,96 délimite une probabilité centrale de 95 %. · La valeur vérifiant Pr(|U| ≤ u) = 0,95 est u = 1,96.

Explication

La relation Pr(|U| ≤ u) = 0,95 donne u = 1,96. La valeur 1,645 correspond plutôt à une probabilité unilatérale de 0,95, et l’intervalle à 95 % utilise 1,96 écart type.

32. Un tableau de contingence comporte r lignes et c colonnes. Concernant son analyse par la loi du χ², cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le nombre de degrés de liberté vaut v = r × c.
La loi du χ² compare une distribution observée à une distribution théorique.
La loi de Student détermine les degrés de liberté du tableau de contingence.
Le nombre de degrés de liberté vaut v = (r − 1)(c − 1).
La loi du χ² permet d’évaluer l’indépendance entre deux variables qualitatives.

La loi du χ² compare une distribution observée à une distribution théorique. · Le nombre de degrés de liberté vaut v = (r − 1)(c − 1). · La loi du χ² permet d’évaluer l’indépendance entre deux variables qualitatives.

Explication

Pour un tableau de contingence, les degrés de liberté sont le produit du nombre de lignes moins un par le nombre de colonnes moins un. La loi du χ² sert notamment à tester l’indépendance et l’ajustement, mais la loi de Student détermine les degrés de liberté d’un intervalle de moyenne.

33. Pour calculer un intervalle de confiance d’une moyenne avec un échantillon de taille n :

Un échantillon de taille n conduit à n degrés de liberté avec Student.
La loi de Student sert à comparer une distribution observée à une distribution théorique.
La loi de Student utilise n − 1 degrés de liberté.
La loi du χ² est adaptée au test d’indépendance entre deux variables qualitatives.
Un tableau de contingence à r lignes et c colonnes utilise (r − 1)(c − 1) degrés de liberté.

La loi de Student utilise n − 1 degrés de liberté. · La loi du χ² est adaptée au test d’indépendance entre deux variables qualitatives. · Un tableau de contingence à r lignes et c colonnes utilise (r − 1)(c − 1) degrés de liberté.

Explication

Pour un intervalle de confiance d’une moyenne fondé sur un échantillon de taille n, la loi de Student utilise n − 1 degrés de liberté. La formule (r − 1)(c − 1) concerne les tableaux de contingence analysés par le χ².

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Mémorisez les réponses avec 67 flashcards sur Probabilités en santé.

Qu'est-ce que la probabilité d'un événement ?

La limite de sa fréquence quand les répétitions tendent vers l'infini.

À quoi servent les probabilités dans l'estimation d'une proportion ?

À estimer une proportion par un intervalle de confiance à 95 %.

Quelle probabilité l'intervalle de confiance à 95 % est-il conçu pour contenir ?

La valeur réelle avec une probabilité de 0,95.

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