Fiche de révision : Probabilités en santé

📋 Plan du Cours

1. Fondements des probabilités
2. Événements et opérations
3. Calculs et probabilités conditionnelles
4. Variables aléatoires discrètes
5. Lois de Bernoulli et binomiale
6. Loi de Poisson
7. Variables aléatoires continues
8. Loi normale et approximations
9. Loi normale centrée réduite
10. Lois du χ² et de Student

📖 1. Fondements des probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité : La limite de sa fréquence lorsque le nombre de répétitions tend vers l’infini.
• Épreuve : Une expérience dont le résultat est aléatoire, c’est-à-dire dû au hasard.
• Événement : Un sous-ensemble de l’ensemble E de tous les événements élémentaires d’une épreuve.

📝 Points essentiels

• Les probabilités servent notamment à estimer une proportion dans une population par un intervalle de confiance à 95 %, généralement conçu pour contenir la valeur réelle avec une probabilité de 0,95.

💡 Astuce mémo

Répétitions nombreuses → fréquence → probabilité

📖 2. Événements et opérations

★ À maîtriser

• L’intersection A ∩ B correspond à la réalisation simultanée de A et de B, tandis que l’union A ∪ B correspond à la réalisation de A, de B ou des deux.

• Deux événements sont incompatibles lorsque leur intersection est vide, soit A ∩ B = Ø, et ils ne peuvent donc pas être réalisés simultanément.

• Le contraire de « A et B sont réalisés » est « au moins un des deux n’est pas réalisé », et non « aucun des deux n’est réalisé ».

Compléments

📌 Si A est inclus dans B, alors tous les résultats de A appartiennent à B et A ⊂ B.

💡 Astuce mémo

Intersection = et ; union = ou

📖 3. Calculs et probabilités conditionnelles

★ À maîtriser

📐 Formule — La fréquence d’un événement observé k fois lors de n répétitions est $f = \frac{k}{n}$.

📌 Pour deux événements incompatibles, $Pr(A \cup B)=Pr(A)+Pr(B)$.

📐 Formule — La probabilité du contraire d’un événement vérifie $Pr(\overline{A})=1-Pr(A)$.

📐 Formule — La probabilité conditionnelle de A sachant B est définie par $Pr(A|B)=\frac{Pr(A\cap B)}{Pr(B)}$.

📌 Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si $Pr(A\cap B)=Pr(A)\times Pr(B)$.

• Pour une maladie touchant 5 % de la population, avec un test positif chez 86 % des malades et 6 % des sujets sains, la probabilité d’être malade sachant que le test est positif est de 0,43.

Compléments

• Avec une prévalence de maladie de 25 % et une proportion de fumeurs parmi les malades de 50 %, la proportion de personnes à la fois fumeuses et malades est de 12,5 %.

💡 Astuce mémo

Conditionner → multiplier ; unir → additionner

📖 4. Variables aléatoires discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Une fonction qui associe un nombre réel à chaque événement élémentaire d’une expérience aléatoire.

★ À maîtriser

📌 Une variable aléatoire discrète prend des valeurs dénombrables, tandis qu’une variable aléatoire continue peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle.

📐 Formule — Pour une variable aléatoire discrète, les probabilités pi vérifient $0\leq p_i\leq 1$ et $\sum_i p_i=1$.

Compléments

📐 Formule — L’espérance d’une variable aléatoire discrète est $E(X)=\mu=\sum_i x_i p_i$, et son écart type est la racine carrée de sa variance.

💡 Astuce mémo

Discrète = valeurs dénombrables ; continue = intervalle

📖 5. Lois de Bernoulli et binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Bernoulli : Une variable aléatoire qui prend les valeurs 1 et 0 avec les probabilités p et 1 − p.
• Loi binomiale : Le nombre de succès obtenus parmi n essais de Bernoulli indépendants ayant une probabilité de succès p.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une variable binomiale de paramètres n et p, l’espérance est $\mu=np$ et la variance est $\sigma^2=np(1-p)$.

Compléments

📐 Formule — Pour une variable suivant une loi de Bernoulli, l’espérance vaut $\mu=p$ et la variance vaut $\sigma^2=p(1-p)$.

📌 Pour une variable binomiale, $Pr(X>k)=1-Pr(X\leq k)$.

💡 Astuce mémo

Un essai de Bernoulli → n essais → loi binomiale

📖 6. Loi de Poisson

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Poisson : Le nombre d’événements observés pendant une période lorsque les événements sont rares ou que la proportion de l’événement est inconnue mais que son nombre moyen est connu.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si X suit une loi de Poisson de paramètre λ, alors la probabilité d’observer zéro événement est $Pr(X=0)=e^{-\lambda}$.

📌 Une loi binomiale peut être approximée par une loi de Poisson lorsque n est très grand, p ou q est très petit, np est fini et inférieur à 3, avec λ = np.

• Après 10 000 prescriptions sans effet indésirable observé, le risque maximal compatible avec une probabilité de 5 % d’observer zéro effet est approximativement 3/N, soit 3/10 000.

Compléments

• Avec 10 fractures traitées en moyenne par week-end, le nombre de fractures du week-end suivant suit une loi de Poisson de paramètre λ = 10.

💡 Astuce mémo

Événement rare et n grand → approximation de Poisson

📖 7. Variables aléatoires continues

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de répartition : La probabilité qu’une variable aléatoire X prenne une valeur inférieure ou égale à x.

★ À maîtriser

📌 Pour une variable aléatoire continue, la probabilité de prendre une valeur précise est nulle, soit Pr(X = x) = 0.

📐 Formule — La probabilité qu’une variable continue appartienne à l’intervalle [x1,x2] est $Pr(x_1\leq X\leq x_2)=F(x_2)-F(x_1)$.

📐 Formule — Pour Y = aX + b, l’espérance vérifie $E(Y)=aE(X)+b$ et la variance vérifie $Var(Y)=a^2Var(X)$.

📌 Si X et Y sont indépendantes, alors $Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$.

Compléments

📐 Formule — La densité de probabilité f est la dérivée de la fonction de répartition lorsque celle-ci existe, soit $f(x)=F'(x)$.

💡 Astuce mémo

Les barres de l’histogramme deviennent une courbe de densité

📖 8. Loi normale et approximations

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale : Une loi continue dont la densité est symétrique autour de la moyenne μ et représentée par une courbe en cloche.

★ À maîtriser

• Pour une loi normale, les probabilités d’appartenance aux intervalles μ ± σ, μ ± 2σ et μ ± 3σ sont respectivement 68,27 %, 95,45 % et 99,73 %.

📌 Une loi binomiale peut être approximée par une loi normale si n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1 − p) ≥ 5.

Compléments

📌 Pour une moyenne d’échantillon de taille n ≥ 30, l’approximation normale est utilisée pour les intervalles de confiance et les comparaisons de moyennes.

• 🔄 La normalité d’une distribution peut être examinée par:
  1. la concordance moyenne-médiane-mode
  2. un graphique comme la droite de Henry
  3. un test statistique

💡 Astuce mémo

68–95–99,7 : un, deux, trois écarts-types

📖 9. Loi normale centrée réduite

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale centrée réduite : Une loi normale de moyenne 0 et d’écart type 1, notée N(0,1).

★ À maîtriser

📐 Formule — Si X suit une loi normale de moyenne μ et d’écart type σ, sa standardisation est $U=\frac{X-\mu}{\sigma}$ et U suit N(0,1).

📐 Formule — Pour u ≥ 0, la symétrie de N(0,1) donne $Pr(U<-u)=Pr(U>u)=\frac{\alpha}{2}$ et $Pr(0<U)=\frac12$.

📐 Formule — Pour une variable normale X, $Pr(X\leq x)=Pr\left(U\leq\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$.

Compléments

• Pour une variable de moyenne 2,0 g/l et d’écart type 0,2 g/l, la probabilité d’être inférieure à 2,2 g/l est approximativement 0,84.

💡 Astuce mémo

Centrer → réduire → lire la table N(0,1)

📖 10. Lois du χ² et de Student

★ À maîtriser

• Pour utiliser la table de N(0,1), on transforme d’abord la valeur en probabilité standardisée, puis on lit la valeur correspondante dans la table et on applique la symétrie si nécessaire.

• La valeur u vérifiant Pr(|U| ≤ u) = 0,95 est u = 1,96.

• Pour une loi normale de moyenne m et d’écart type σ, l’intervalle m ± 1,96σ contient environ 95 % des valeurs.

📌 Dans une table du χ², pour un tableau de contingence à r lignes et c colonnes, le nombre de degrés de liberté est v = (r − 1)(c − 1).

📌 Pour l’intervalle de confiance d’une moyenne calculé sur un échantillon de taille n, la loi de Student utilise n − 1 degrés de liberté.

• La loi du χ² est utilisée pour tester l’indépendance entre deux variables qualitatives et l’ajustement d’une distribution observée à une distribution théorique.

• La loi de Student est utilisée pour estimer une moyenne par intervalle de confiance, comparer deux moyennes ou tester une corrélation sur de petits échantillons.

Compléments

• Pour U suivant N(0,1), la probabilité Pr(|U| < 1,20) est approximativement 0,77, tandis que Pr(U < −1,20) vaut approximativement 0,115.

• Pour une moyenne de 2,0 g/l et un écart type de 0,2 g/l, la demi-largeur de l’intervalle contenant 95 % des valeurs est e = 0,392 g.

• Dans une table de loi normale, α = 5 % avec une probabilité bilatérale de 95 % correspond au quantile 1,96.

• Pour α = 5 % et 1 degré de liberté, la valeur du χ² est 3,84.

💡 Astuce mémo

χ² : variables qualitatives ; Student : moyennes sur petits échantillons

📊 Tableaux de synthèse

Choix des lois discrètes