Fiche de révision : Probabilités et événements

📋 Plan du Cours

1. Équiprobabilité et calcul des probabilités
2. Probabilités conditionnelles et arbres
3. Tableaux, unions et indépendance
4. Partitions et probabilités totales

📖 1. Équiprobabilité et calcul des probabilités

★ À maîtriser

📐 Formule - En situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement est $P(E)=\frac{\text{nombre d’éléments de }E}{\text{nombre d’éléments de }\Omega}$.

Compléments

• Parmi 10 t-shirts indiscernables, dont 2 bleus, 3 verts et 5 rouges, les probabilités de tirer chaque couleur sont respectivement $P(B)=\frac{1}{5}$, $P(V)=\frac{3}{10}$ et $P(R)=\frac{1}{2}$.

📖 2. Probabilités conditionnelles et arbres

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle de B sachant A, notée $P_A(B)$, est la probabilité que B se réalise sachant que A est réalisé, lorsque $P(A)\neq 0$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $P(A)\neq 0$, la probabilité conditionnelle vérifie $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$, donc $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.

📌 Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.

Compléments

• Pour le choix du pantalon, les valeurs rapportées pour la probabilité de choisir un pantalon noir sachant un t-shirt bleu sont contradictoires : l’arbre indique $P_B(N)=\frac{1}{3}$, tandis que le calcul des probabilités totales utilise $P_B(N)=\frac{2}{3}$.

• L’arbre donne $P_V(N)=\frac{1}{4}$ et $P_R(N)=\frac{9}{10}$ pour le choix d’un pantalon noir après un t-shirt vert ou rouge.

📖 3. Tableaux, unions et indépendance

★ À maîtriser

📐 Formule - La probabilité de l’union de deux événements vérifie $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

📌 Les événements A et B sont indépendants si l’une des égalités suivantes est vérifiée : $P_A(B)=P(B)$, $P_B(A)=P(A)$ ou $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

Compléments

• Dans l’enquête sur 1 000 personnes, 100 ont les cheveux blonds, 339 ont les cheveux courts et 15 sont à la fois blonds et ont les cheveux courts ; ainsi, la probabilité d’avoir les cheveux blonds ou courts est $\frac{100+339-15}{1000}=0{,}425$.

• Dans l’enquête, $P(B)=\frac{1}{10}$ et $P_{\overline{C}}(B)=\frac{85}{661}$ étant différents, les événements B et $\overline{C}$ ne sont pas indépendants.

📖 4. Partitions et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de l’univers : Une famille d’événements forme une partition de l’univers si leur réunion est l’univers et si les événements sont deux à deux disjoints.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $A_1,A_2,\ldots$ forment une partition de l’univers, alors, pour tout événement B, $P(B)=\sum_i P(A_i\cap B)$.

Compléments

• En utilisant les probabilités conditionnelles employées dans le calcul du cours, $P(N)=\frac{1}{5}\times\frac{2}{3}+\frac{3}{10}\times\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\times\frac{9}{10}=\frac{79}{120}$.