Fiche de révision : Approche graphique des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Relations, fonctions et variables
2. Images et antécédents graphiques
3. Domaine et ensemble image
4. Zéros et ordonnée à l’origine
5. Signe, variations et extrema
6. Comparaison de fonctions

📖 1. Relations, fonctions et variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation : Une relation entre deux variables existe si l’on peut associer à certains éléments de la première variable un ou plusieurs éléments de la seconde.
• Fonction : Une fonction est une relation qui associe à chaque valeur de x au plus une valeur de y.
• Variable indépendante : La variable x est la variable indépendante.
• Variable dépendante : La variable y est la variable dépendante et se place sur l’axe des ordonnées.

📝 Points essentiels

📌 Un graphique représente une fonction si toute droite verticale le coupe au maximum une fois.

💡 Astuce mémo

Une relation peut donner plusieurs images ; une fonction en donne au plus une.

📖 2. Images et antécédents graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Image : L’image d’un nombre a par une fonction f est la valeur prise par la fonction en x = a et se note f(a).
• Antécédent : Un antécédent d’un nombre b par une fonction f est une valeur de x telle que f(x) = b.

📝 Points essentiels

• Une valeur de x peut ne pas avoir d’image si elle n’appartient pas au domaine de définition de la fonction.

• Une valeur de y peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents par une fonction.

• 🔄 Pour lire une image sur le graphique :

  1. Repérer la valeur sur l’axe x.
  2. Rejoindre verticalement la courbe.
  3. Rejoindre horizontalement l’axe y.

💡 Astuce mémo

Image : verticale depuis x, puis horizontale vers y ; antécédent : horizontale depuis y, puis verticale vers x.

📖 3. Domaine et ensemble image

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine de définition : Le domaine de définition dom f est l’ensemble des nombres réels x pour lesquels la fonction f est définie, c’est-à-dire possède une image.
• Ensemble image : L’ensemble image Im f est l’ensemble des images prises par la fonction f.

📝 Points essentiels

• Pour déterminer graphiquement le domaine et l’ensemble image, on relève respectivement les abscisses et les ordonnées prises par les points du graphique, en indiquant les bornes incluses ou exclues.

📖 4. Zéros et ordonnée à l’origine

🔑 Notions clés & Définitions

• Zéro : Un zéro, ou une racine, est l’abscisse d’un point où le graphique de la fonction coupe l’axe des abscisses.
• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine est l’ordonnée du point où le graphique coupe l’axe des ordonnées et correspond à l’image de 0.

★ À maîtriser

• Un zéro a pour image zéro : si a est un zéro de f, alors f(a) = 0.

Compléments

• Une fonction peut posséder plusieurs zéros, mais elle ne peut avoir qu’une seule ordonnée à l’origine.

💡 Astuce mémo

Le zéro se lit sur l’axe des x ; l’ordonnée à l’origine se lit sur l’axe des y.

📖 5. Signe, variations et extrema

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction positive : Une fonction f est positive sur un intervalle de son domaine si, pour toute valeur x de cet intervalle, f(x) ≥ 0.
• Minimum : Un minimum est la plus petite valeur prise par une fonction sur son domaine.
• Maximum : Un maximum est la plus grande valeur prise par une fonction sur son domaine.

★ À maîtriser

• Dans un tableau de variations, ↗ indique une fonction croissante, ↘ une fonction décroissante et → une fonction constante.

Compléments

• Pour construire un tableau de signes, on place dans l’ordre les bornes du domaine et les zéros, on indique les images existantes ou ∄, puis on note + au-dessus de l’axe des abscisses et − en dessous.

• 🔄 Pour construire un tableau de variations :

  1. Placer dans l’ordre les bornes du domaine et les abscisses des extrema.
  2. Indiquer les images correspondantes ou le symbole ∄.
  3. Noter les intervalles de croissance, de décroissance ou de constance.

📌 Une extrémité du graphique peut être un minimum ou un maximum si son abscisse appartient au domaine et si son image est la plus petite ou la plus grande valeur de la fonction.

• Un minimum local apparaît lorsque la fonction cesse de décroître pour croître, et un maximum local lorsqu’elle cesse de croître pour décroître.

📖 6. Comparaison de fonctions

★ À maîtriser

• Pour comparer deux fonctions, on repère leurs intersections puis les intervalles où le graphique de l’une se situe au-dessus, en dessous ou au même niveau que celui de l’autre.

• Les points d’intersection de deux graphiques correspondent aux valeurs de x pour lesquelles les deux fonctions ont la même image.

Compléments

• L’égalité n(x) − r(x) = 0 équivaut à n(x) = r(x).