Fiche de révision : Probabilités et événements indépendants

📋 Plan du Cours

1. Issues et équiprobabilité
2. Événements et tableaux d’effectifs
3. Probabilités conditionnelles
4. Arbres et calcul des probabilités
5. Critères d’indépendance
6. Applications aux tableaux et événements

📖 1. Issues et équiprobabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Équiprobabilité : Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues d’une expérience aléatoire ont la même chance de se produire.
• Univers : Ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire.

📝 Points essentiels

• Lors d’un lancer de pièce équilibrée, les deux issues pile et face sont équiprobables et chacune a une probabilité de 0,5.

• Trois lancers successifs produisent les issues suivantes :

  • PPP
  • PPF
  • PFP
  • PFF
  • FPP
  • FPF
  • FFP
  • FFF

📖 2. Événements et tableaux d’effectifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Événement constitué des issues qui réalisent à la fois A et B.
• Réunion : Événement constitué des issues qui réalisent A ou B, éventuellement les deux.

★ À maîtriser

📐 Formule - La probabilité d’une réunion vérifie $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Compléments

• Dans un tableau d’effectifs, les totaux de ligne et de colonne permettent de déterminer les effectifs des événements et de leurs intersections.

• Parmi 1 500 colis, 45 sont mal fermés, 68 mal étiquetés et 9 présentent les deux défauts ; 36 sont donc uniquement mal fermés et 1 396 ne présentent aucun des deux défauts.

📖 3. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Probabilité que B se réalise sachant que A est réalisé.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si P(A)≠0, la probabilité conditionnelle vérifie $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.

Compléments

• Dans un tableau d’effectifs, une probabilité conditionnelle se calcule en divisant l’effectif de l’intersection par l’effectif de la condition donnée.

• Parmi les 500 électeurs hommes, 85 ont voté nul, donc P_H(N)=85/500=0,17.

• Parmi les 126 vestes présentant un défaut, 56 proviennent de la ligne A, donc P_D(A)=56/126, soit environ 44 %.

💡 Astuce mémo

P(A∩B) porte sur les deux événements ; Pₐ(B) restreint le calcul aux cas où A est réalisé.

📖 4. Arbres et calcul des probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre de probabilités : Représentation composée de branches et de nœuds, où les branches portent les probabilités des événements correspondants.

★ À maîtriser

• La somme des probabilités des branches qui partent d’un même nœud est égale à 1.

• La probabilité d’un événement correspondant à un chemin dans un arbre est le produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin.

• La probabilité d’un événement réalisé par plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins.

Compléments

• Pour trois lancers indépendants d’une pièce équilibrée, la probabilité de l’issue PPF est $0{,}5\times0{,}5\times0{,}5=0{,}125$.

• Pour trois lancers d’une pièce équilibrée, la probabilité d’obtenir exactement deux fois pile est 3/8, soit 0,375.

💡 Astuce mémo

Un chemin : multiplier les branches ; plusieurs chemins : additionner leurs probabilités.

📖 5. Critères d’indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance : Situation où la réalisation de l’un des deux événements n’a pas d’influence sur la probabilité de réalisation de l’autre.

★ À maîtriser

📐 Formule - Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

📌 Lorsque P(A)≠0, A et B sont indépendants si et seulement si P_A(B)=P(B).

Compléments

• Dans l’exemple des votes, P(N)=0,17 et P_H(N)=0,17, ce qui montre que le vote nul et le fait d’être un homme sont indépendants.

• Pour les livraisons, P(H)=0,9 alors que P_T(H)=0,85 ; le transporteur T et l’arrivée à l’heure ne sont donc pas indépendants.

💡 Astuce mémo

Indépendance : la condition ne change pas la probabilité ; dépendance : elle la modifie.

📖 6. Applications aux tableaux et événements

★ À maîtriser

• Dans une série de 2 400 vestes, la ligne A en produit 60 % et la ligne B en produit 40 % ; les taux de défaut sont respectivement de 4 % et 7 %.

• Sur 100 ouvrages empruntés, 40 sont des livres dont 10 % sont détériorés, 25 sont des albums de BD dont 5 sont détériorés, et les 35 autres sont des revues dont 60 % sont en bon état.

Compléments

• Dans l’enquête sur 1 500 élèves, 1 275 possèdent un smartphone et, parmi eux, 20 % ont un forfait bloqué ; 1 065 élèves ont un forfait non bloqué.

• Dans une production de vélos, deux tiers proviennent de l’entreprise A ; 40 % des vélos de A et 15 % des vélos de B sont électriques.

• Dans l’exercice sur les défauts de colis, 45 colis sont mal fermés, 68 sont mal étiquetés et 9 présentent les deux défauts parmi 1 500 colis.