Flashcards : Probabilités et lois de probabilité — 62 cartes

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1Question

Quelle est la formule de la probabilité conditionnelle de A sachant B ?

Réponse

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

2Question

Quelle formule exprime le théorème de Bayes pour $P(A\mid B)$ ?

Réponse

$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$

3Question

Comment calcule-t-on la probabilité de l’union de deux événements A et B ?

Réponse

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

4Question

Quelle est la formule de la probabilité de l’événement complémentaire $\bar A$ ?

Réponse

$P(\bar A)=1-P(A)$

5Question

Qu'est-ce qu'une épreuve en probabilité ?

Réponse

Une épreuve produit un résultat constituant un événement.

6Question

Que forme l'ensemble fondamental en probabilité ?

Réponse

L'ensemble fondamental est l'ensemble des résultats possibles.

7Question

Quelle différence existe entre un phénomène déterministe et un phénomène aléatoire ?

Réponse

Un phénomène déterministe donne toujours le même résultat, un aléatoire des résultats variables.

8Question

Comment se décrit la répartition des résultats d'un phénomène aléatoire ?

Réponse

Elle est décrite par une loi de probabilité.

9Question

À quoi correspondent les opérateurs ET, OU et NON en théorie des ensembles ?

Réponse

Ils correspondent respectivement à l'intersection, l'union et le complément des ensembles.

10Question

Qu'est-ce qu'une partition en probabilités ?

Réponse

Un ensemble complet d'événements élémentaires deux à deux exclusifs dont la réunion est l'événement certain.

11Question

Quelle est la somme des probabilités dans une partition d'événements ?

Réponse

Elle vaut toujours 1.

12Question

Quelle formule exprime la somme des probabilités d'une partition d'événements e₁ à eₙ ?

Réponse

$\sum_{i=1}^{n}P(e_i)=1$

13Question

Quelle est la probabilité d'un événement élémentaire dans un ensemble équiprobable de n événements ?

Réponse

$P(e_i)=\frac{1}{n}$

14Question

Que signifie que les événements de base sont équiprobables ?

Réponse

Ils ont tous la même probabilité.

15Question

Quelle est la probabilité d'un sous-ensemble de 3 événements dans un espace équiprobable de 8 événements ?

Réponse

$\frac{3}{8}$

16Question

Quelle est la probabilité de l'événement certain ?

Réponse

Elle vaut 1.

17Question

Quelle est la probabilité de l'événement impossible ?

Réponse

Elle vaut 0.

18Question

Quelle formule relie $P(A\cup B)$ et $P(A)$ , $P(B)$ pour événements mutuellement exclusifs ?

Réponse

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ .

19Question

Quelle est la valeur de $P(A\cap B)$ pour événements mutuellement exclusifs ?

Réponse

Elle vaut 0.

20Question

Comment calcule-t-on la probabilité de l'union de n événements mutuellement exclusifs ?

Réponse

C'est la somme de leurs probabilités.

21Question

Qu'impose l'indépendance entre deux événements A et B ?

Réponse

La réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre.

22Question

Quelle égalité exprime la probabilité conditionnelle si A et B sont indépendants ?

Réponse

$P(A\mid B)=P(A)$ et $P(B\mid A)=P(B)$ .

23Question

Pourquoi deux événements exclusifs non impossibles ne peuvent-ils pas être indépendants ?

Réponse

Car leur intersection est vide alors que leur produit de probabilités est positif.

24Question

Qu'est-ce que la sensibilité d'un test ?

Réponse

La probabilité d'un résultat positif chez une personne malade.

25Question

Qu'est-ce que la spécificité d'un test ?

Réponse

La probabilité d'un résultat négatif chez une personne non malade.

26Question

Quel critère privilégie-t-on pour un dépistage ?

Réponse

Une grande sensibilité pour minimiser les faux négatifs.

27Question

Quel critère privilégie-t-on pour une confirmation ?

Réponse

Une grande spécificité pour minimiser les faux positifs.

28Question

Comment calcule-t-on la proportion de faux positifs ?

Réponse

$P(T+\mid M-)=1-Sp$

29Question

Comment calcule-t-on la proportion de faux négatifs ?

Réponse

$P(T-\mid M+)=1-Se$

30Question

De quoi la sensibilité et la spécificité ne dépendent-elles pas ?

Réponse

Elles ne dépendent pas de la prévalence.

31Question

Quelles valeurs dépendent de la prévalence ?

Réponse

La valeur prédictive positive et la valeur prédictive négative.

32Question

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?

Réponse

Elle associe à chaque réalisation une valeur et une probabilité.

33Question

Quelles valeurs prend une variable aléatoire discrète ?

Réponse

Un ensemble discret de valeurs.

34Question

Quelle est la condition sur les probabilités d'une variable aléatoire discrète ?

Réponse

Chaque probabilité est comprise entre 0 et 1.

35Question

Quelle est la somme des probabilités pour une variable aléatoire discrète ?

Réponse

Elle vaut 1.

36Question

Comment calcule-t-on l'espérance d'une variable aléatoire discrète ?

Réponse

Par $E(X)=\sum_{i=1}^{n}P(x_i)x_i$ .

37Question

Quelle formule donne la variance d'une variable aléatoire discrète ?

Réponse

$Var(X)=\sum_{i=1}^{n}P(x_i)(x_i-E(X))^2$ .

38Question

Quelle formule exprime la covariance de deux variables aléatoires ?

Réponse

$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ .

39Question

Une covariance nulle implique-t-elle toujours l'indépendance ?

Réponse

Non, une covariance nulle n'implique pas nécessairement l'indépendance.

40Question

Quelles valeurs prend une variable de Bernoulli ?

Réponse

Elle prend 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec.

41Question

Quelle est l'espérance d'une variable de Bernoulli de paramètre p ?

Réponse

L'espérance est égale à p.

42Question

Quelle est la variance d'une variable de Bernoulli de paramètre p ?

Réponse

La variance est égale à pq avec q=1-p.

43Question

Quand une variable suit-elle une loi binomiale ?

Réponse

Quand elle compte le nombre de succès en n essais indépendants de probabilité p.

44Question

Quelle est la formule de la probabilité d'obtenir k succès en loi binomiale ?

Réponse

$P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}$ .

45Question

Comment s'exprime le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ ?

Réponse

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ .

46Question

Quelle est l'espérance d'une variable binomiale B(n,p) ?

Réponse

L'espérance est égale à $np$ .

47Question

Quelle est la variance d'une variable binomiale B(n,p) ?

Réponse

La variance est égale à $npq$ avec $q=1-p$ .

48Question

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire continue ?

Réponse

Une variable aléatoire continue prend toute valeur réelle dans un intervalle.

49Question

Quelle est la probabilité que X prenne une valeur réelle k pour une variable continue ?

Réponse

Elle est toujours nulle, $P(X=k)=0$ .

50Question

Comment calcule-t-on la probabilité que X soit entre u et v avec une densité f ?

Réponse

On calcule $P(u\le X\le v)=\int_u^v f(x)\,dx$ .

51Question

Quelles sont les conditions sur une densité de probabilité ?

Réponse

Elle est positive ou nulle et son intégrale sur son domaine vaut 1.

52Question

Comment s'exprime la fonction de répartition d'une variable continue ?

Réponse

$F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x}f(v)\,dv$ .

53Question

Comment calcule-t-on $P(a\le X\le b)$ avec la fonction de répartition ?

Réponse

$P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)$ .

54Question

Comment calcule-t-on $P(X>a)$ avec la fonction de répartition ?

Réponse

$P(X>a)=1-F(a)$ .

55Question

Comment se note une variable normale de moyenne m et variance s² ?

Réponse

$X\sim N(m,s^2)$ .

56Question

Quelle est la relation entre médiane, moyenne et mode d'une loi normale ?

Réponse

Ils sont égaux à m.

57Question

Quelle loi suit la variable centrée réduite $Y=\frac{X-m}{s}$ si $X\sim N(m,s^2)$ ?

Réponse

$Y$ suit la loi $N(0,1)$ .

58Question

Quelle propriété symétrique vérifie la fonction de répartition $F$ d'une loi normale centrée réduite ?

Réponse

$F(-x)=1-F(x)$ et $F(0)=\frac{1}{2}$ .

59Question

Quelle est la loi de $Y=aX+b$ si $X\sim N(m,s^2)$ ?

Réponse

$Y\sim N(am+b,a^2s^2)$ .

60Question

Quand peut-on approximer une loi binomiale $B(n,p)$ par une loi normale ?

Réponse

Lorsque $np\geq 5$ et $nq\geq 5$ .

61Question

Quelle est la première étape pour calculer une probabilité d'une loi normale avec la table de $N(0,1)$ ?

Réponse

Centrer et réduire la variable.

62Question

Que dit le théorème central limite sur la moyenne de $n$ variables indépendantes identiquement distribuées ?

Réponse

Elle est approximativement normale quand $n\geq 30$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 31 questions sur Probabilités et lois de probabilité.

1. Si $P(A\cap B)=0{,}18$ et $P(B)=0{,}6$ , quelle est la valeur de $P(A\mid B)$ ?

2. Quelle expression applique correctement le théorème de Bayes pour déterminer $P(A\mid B)$ ?

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