Fiche de révision : Probabilités et lois de probabilité

📋 Plan du Cours

1. Probabilités conditionnelles fondamentales
2. Épreuves et événements
3. Partitions et équiprobabilité
4. Règles générales des probabilités
5. Indépendance des événements
6. Tests de laboratoire
7. Variables aléatoires discrètes
8. Lois discrètes usuelles
9. Variables aléatoires continues
10. Loi normale et approximations

📖 1. Probabilités conditionnelles fondamentales

★ À maîtriser

📐 Formule — La probabilité conditionnelle de A sachant B vérifie $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

📐 Formule — Le théorème de Bayes donne $P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$.

📐 Formule — La probabilité de l’union de deux événements vérifie $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Compléments

• L’événement complémentaire de A, noté \bar A, vérifie $P(\bar A)=1-P(A)$.

💡 Astuce mémo

ET = simultanéité, sachant = condition

📖 2. Épreuves et événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuve : Expérience qui produit un résultat constituant un événement, l’ensemble des résultats possibles formant l’ensemble fondamental.

★ À maîtriser

📌 Un phénomène déterministe donne le même résultat lorsqu’on répète l’expérience, tandis qu’un phénomène aléatoire produit des résultats variables dont la répartition reste décrite par une loi de probabilité.

Compléments

• Les opérateurs ET, OU et NON correspondent respectivement à l’intersection, l’union et le complément des ensembles.

💡 Astuce mémo

Déterministe = prévisible, aléatoire = variable

📖 3. Partitions et équiprobabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition : Ensemble complet d’événements élémentaires deux à deux exclusifs dont la réunion forme l’événement certain.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une partition d’événements e₁ à eₙ, la somme des probabilités vaut $\sum_{i=1}^{n}P(e_i)=1$.

📐 Formule — Si les événements de base sont équiprobables et au nombre de n, chacun a une probabilité $P(e_i)=\frac{1}{n}$.

Compléments

• Dans un espace de huit événements équiprobables, un sous-ensemble contenant trois événements a une probabilité de $\frac{3}{8}$.

💡 Astuce mémo

Exclusifs → complets → somme égale à 1

📖 4. Règles générales des probabilités

★ À maîtriser

• La probabilité de l’événement certain vaut 1 et celle de l’événement impossible vaut 0.

📐 Formule — Pour des événements mutuellement exclusifs, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ car $P(A\cap B)=0$.

Compléments

• Pour n événements mutuellement exclusifs, la probabilité de leur union est la somme de leurs probabilités.

📖 5. Indépendance des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance : Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de réalisation de l’autre.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si A et B sont indépendants, alors $P(A\mid B)=P(A)$ et $P(B\mid A)=P(B)$.

Compléments

📌 Deux événements exclusifs non impossibles ne peuvent pas être indépendants, car leur intersection est vide alors que leur produit de probabilités est positif.

💡 Astuce mémo

Indépendance → la condition ne modifie pas la probabilité

📖 6. Tests de laboratoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Sensibilité : Probabilité d’obtenir un résultat positif chez une personne malade, soit $Se=P(T+\mid M+)$.
• Spécificité : Probabilité d’obtenir un résultat négatif chez une personne non malade, soit $Sp=P(T-\mid M-)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La valeur prédictive positive est $VPP=P(M+\mid T+)$ et la valeur prédictive négative est $VPN=P(M-\mid T-)$.

📌 Pour un dépistage, on privilégie une grande sensibilité afin de minimiser les faux négatifs, tandis que pour une confirmation, on privilégie une grande spécificité afin de minimiser les faux positifs.

📌 La sensibilité et la spécificité ne dépendent pas de la prévalence, tandis que la valeur prédictive positive et la valeur prédictive négative en dépendent.

Compléments

📐 Formule — La proportion de faux positifs vaut $P(T+\mid M-)=1-Sp$ et la proportion de faux négatifs vaut $P(T-\mid M+)=1-Se$.

💡 Astuce mémo

Dépistage : sensibilité ; confirmation : spécificité

📖 7. Variables aléatoires discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Une variable aléatoire associe à chaque réalisation possible d’une épreuve une valeur et une probabilité.
• Variable aléatoire discrète : Variable aléatoire qui ne prend qu’un ensemble discret de valeurs, chacune ayant une probabilité comprise entre 0 et 1.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une variable aléatoire discrète, la somme des probabilités de toutes les valeurs vaut $\sum_{i=1}^{n}P(x_i)=1$.

📐 Formule — L’espérance d’une variable discrète est $E(X)=\sum_{i=1}^{n}P(x_i)x_i$ et sa variance est $Var(X)=\sum_{i=1}^{n}P(x_i)(x_i-E(X))^2$.

Compléments

📐 Formule — La covariance de deux variables vérifie $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$, et une covariance nulle n’implique pas nécessairement l’indépendance.

📖 8. Lois discrètes usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Bernoulli : Variable prenant la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec, avec une probabilité de succès p et une probabilité d’échec q=1-p.
• Loi binomiale : Loi de la variable comptant le nombre de succès obtenus lors de n réalisations indépendantes d’une épreuve de probabilité de succès p.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une variable de Bernoulli, $E(X)=p$ et $Var(X)=pq$.

📐 Formule — Pour une variable binomiale, la probabilité d’obtenir k succès est $P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}$ avec $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

📐 Formule — Pour une loi binomiale, $E(X)=np$ et $Var(X)=npq$.

Compléments

📐 Formule — Si X suit une loi binomiale B(n,p) et Z=X/n représente une proportion, alors $E(Z)=p$ et $Var(Z)=\frac{pq}{n}$.

💡 Astuce mémo

Bernoulli → répétitions → binomiale

📖 9. Variables aléatoires continues

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire continue : Une variable aléatoire continue peut prendre n’importe quelle valeur réelle dans un intervalle, et pour toute valeur k réelle on a $P(X=k)=0$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une densité f, la probabilité que X soit comprise entre u et v vaut $P(u\le X\le v)=\int_u^v f(x)\,dx$.

📐 Formule — La fonction de répartition d’une variable continue est $F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x}f(v)\,dv$.

📌 Une densité de probabilité est positive ou nulle et son intégrale sur son domaine vaut 1.

Compléments

📐 Formule — Pour une fonction de répartition, $P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)$ et $P(X>a)=1-F(a)$.

💡 Astuce mémo

Une densité : l’aire sous la courbe représente la probabilité

📖 10. Loi normale et approximations

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale : Une variable normale de moyenne m et de variance s² se note $X\sim N(m,s^2)$ et possède une densité en forme de cloche symétrique centrée sur m.

★ À maîtriser

• Pour une loi normale, la médiane, la moyenne et le mode sont égaux à m.

📐 Formule — Si $X\sim N(m,s^2)$, alors la variable centrée réduite $Y=\frac{X-m}{s}$ suit $N(0{,}1)$.

📌 Une loi binomiale B(n,p) peut être approximée par une loi normale N(np,npq) lorsque np≥5 et nq≥5.

📌 Le théorème central limite indique que pour n variables indépendantes de même loi, de moyenne m et de variance s², la moyenne est approximativement normale lorsque n≥30.

• Pour calculer une probabilité d’une loi normale avec la table de N(0,1), on centre et réduit la variable, on lit la fonction de répartition puis on applique la différence ou le complément adapté.

Compléments

📐 Formule — Pour une loi normale centrée réduite, $F(-x)=1-F(x)$ et $F(0)=\frac{1}{2}$.

📐 Formule — Si X suit une loi normale et Y=aX+b, alors $Y\sim N(am+b,a^2s^2)$.

📐 Formule — Sous les conditions du théorème central limite, la moyenne de n variables suit approximativement $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\sim N\left(m,\frac{s^2}{n}\right)$.

💡 Astuce mémo

Centrer-réduire → lire la table → calculer la probabilité

📊 Tableaux de synthèse

Indicateurs des tests de laboratoire

Lois discrètes usuelles