Fiche de révision : Probabilités et lois de probabilité

📋 Plan du Cours

1. Probabilités conditionnelles fondamentales
2. Épreuves et événements
3. Partitions et équiprobabilité
4. Opérations sur les probabilités
5. Indépendance des événements
6. Tests de laboratoire
7. Variables aléatoires discrètes
8. Lois de Bernoulli et binomiale
9. Variables aléatoires continues
10. Loi normale et approximations

📖 1. Probabilités conditionnelles fondamentales

📝 Points essentiels

📐 Formule — La probabilité conditionnelle de B sachant A vérifie $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ lorsque $P(A)>0$.

📐 Formule — Le complémentaire de A vérifie $P(\overline{A})=1-P(A)$.

📐 Formule — Deux événements A et B sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

📐 Formule — Le théorème de Bayes donne $P(B\mid A)=\frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}$.

💡 Astuce mémo

A ET B décrit une réalisation simultanée, tandis que A sachant B conditionne l’univers à B.

📖 2. Épreuves et événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuve : Expérience produisant un résultat qui constitue un événement, l’ensemble des résultats possibles formant l’ensemble fondamental.

★ À maîtriser

📌 Un phénomène déterministe donne le même résultat lorsqu’il est répété, tandis qu’un phénomène aléatoire varie mais suit une loi de probabilité.

Compléments

📌 Les opérateurs ET, OU et NON correspondent respectivement à l’intersection, à l’union et au complément d’événements.

💡 Astuce mémo

Déterministe = résultat répétable ; aléatoire = résultat variable mais distribution prévisible.

📖 3. Partitions et équiprobabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité : Nombre réel compris entre 0 et 1 qui mesure les chances qu’un événement se produise.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans un espace complet équiprobable de n résultats, chaque résultat a une probabilité $\frac{1}{n}$ et $P(A)=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$.

📌 Pour une partition d’événements élémentaires, les événements sont deux à deux exclusifs, leur réunion est l’événement certain et la somme de leurs probabilités vaut 1.

💡 Astuce mémo

Partition : exclusifs, complets, puis somme des probabilités égale à 1.

📖 4. Opérations sur les probabilités

★ À maîtriser

📐 Formule — La probabilité de l’union de deux événements vérifie $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

📐 Formule — Pour des événements mutuellement exclusifs, $P(A_1\cup\cdots\cup A_n)=P(A_1)+\cdots+P(A_n)$.

Compléments

📐 Formule — La probabilité de l’événement certain vaut $P(\Omega)=1$ et celle de l’événement impossible vaut $P(\varnothing)=0$.

💡 Astuce mémo

Intersection comptée deux fois → on la soustrait dans la probabilité de l’union.

📖 5. Indépendance des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance : Deux événements dont la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de réalisation de l’autre.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux événements indépendants, $P(A\mid B)=P(A)$, $P(B\mid A)=P(B)$ et $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

📌 Deux événements exclusifs de probabilités non nulles ne peuvent pas être indépendants.

💡 Astuce mémo

Exclusifs = incompatibles ; indépendants = l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre.

📖 6. Tests de laboratoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Sensibilité : Probabilité qu’il soit positif sachant que la personne est malade, soit $Se=P(T^+\mid M^+)$.
• Spécificité : Probabilité qu’il soit négatif sachant que la personne n’est pas malade, soit $Sp=P(T^-\mid M^-)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La proportion de faux positifs vaut $P(T^+\mid M^-)=1-Sp$ et celle des faux négatifs vaut $P(T^-\mid M^+)=1-Se$.

📐 Formule — La valeur prédictive positive est $VPP=P(M^+\mid T^+)$ et la valeur prédictive négative est $VPN=P(M^-\mid T^-)$.

📌 La sensibilité et la spécificité ne dépendent pas de la prévalence, tandis que la valeur prédictive positive et la valeur prédictive négative en dépendent.

💡 Astuce mémo

Dépistage → sensibilité ; confirmation → spécificité.

📖 7. Variables aléatoires discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire discrète : Variable prenant un ensemble discret de valeurs, chacune associée à une probabilité comprise entre 0 et 1.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une variable discrète X, l’espérance est $E(X)=\sum_i p(x_i)x_i$ et la variance est $Var(X)=\sum_i p(x_i)(x_i-E(X))^2$.

📌 Une fonction discrète est une fonction de probabilité si chaque probabilité est comprise entre 0 et 1 et si leur somme vaut 1.

Compléments

📐 Formule — La covariance de X et Y vérifie $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$.

💡 Astuce mémo

Valeurs → probabilités → espérance → variance.

📖 8. Lois de Bernoulli et binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Bernoulli : Variable prenant deux valeurs, 1 pour le succès et 0 pour l’échec, avec une probabilité de succès p et une probabilité d’échec q=1-p.
• Loi binomiale : Variable comptant le nombre de succès obtenus lors de n réalisations indépendantes d’une épreuve de probabilité de succès p.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une variable de Bernoulli, $E(X)=p$ et $Var(X)=pq$.

📐 Formule — Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ et $E(X)=np$, $Var(X)=np(1-p)$.

💡 Astuce mémo

Répéter n succès-échecs indépendants → compter les succès avec une loi binomiale.

📖 9. Variables aléatoires continues

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité de probabilité : Fonction positive ou nulle dont l’intégrale sur son domaine vaut 1.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une variable continue de densité f, $P(u\le X\le v)=\int_u^v f(x)\,dx$ et, pour toute valeur réelle k, $P(X=k)=0$.

📐 Formule — La fonction de répartition d’une variable continue est $F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x}f(v)\,dv$.

📐 Formule — Pour une variable continue, $P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)$ et $P(X>a)=1-F(a)$.

💡 Astuce mémo

La probabilité est une aire sous la courbe de densité entre deux bornes.

📖 10. Loi normale et approximations

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale : Une variable normale de moyenne m et de variance s² se note $X\sim N(m,s^2)$ et possède une densité en cloche symétrique centrée sur m.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $X\sim N(m,s^2)$, alors la variable centrée-réduite $Y=\frac{X-m}{s}$ suit $N(0{,}1)$.

📌 Une loi binomiale B(n,p) peut être approximée par une loi normale $N(np,npq)$ lorsque $np\ge5$ et $nq\ge5$, avec q=1-p.

📌 Le théorème central limite indique que la moyenne de variables indépendantes de même loi tend vers une loi normale lorsque l’effectif est suffisamment grand, en pratique lorsque n≥30.

Compléments

📐 Formule — Pour la loi normale centrée réduite, $F(-x)=1-F(x)$ et $F(0)=\frac12$.

💡 Astuce mémo

Centrer-réduire, lire la table, puis approximer quand l’effectif est suffisant.

📊 Tableaux de synthèse

Indicateurs des tests de laboratoire