QCM : Probabilités et lois de probabilité — 31 questions

Explication

La probabilité conditionnelle se calcule en divisant la probabilité de l’intersection par celle de l’événement conditionnant, soit $0{,}18/0{,}6=0{,}3$. La valeur $0{,}108$ correspondrait à une multiplication et non à la formule conditionnelle.

Explication

Le théorème de Bayes relie la probabilité de $A$ sachant $B$ à $P(B\mid A)$, $P(A)$ et $P(B)$ selon le quotient indiqué. L’expression $P(A\cap B)/P(A)$ calcule plutôt $P(B\mid A)$.

Explication

La probabilité de l’union vaut $P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}5+0{,}4-0{,}1=0{,}8$. Ajouter les deux probabilités sans retirer l’intersection compterait deux fois les issues communes.

Explication

L’ensemble fondamental regroupe tous les résultats possibles d’une épreuve. Un événement contraire décrit une relation avec un événement donné, tandis qu’une intersection combine deux événements.

Explication

Un phénomène déterministe donne le même résultat lorsque l’expérience est répétée dans les mêmes conditions, alors qu’un phénomène aléatoire peut produire des résultats variables. Les autres propositions attribuent au phénomène déterministe des caractéristiques propres à l’aléatoire.

Explication

Une partition couvre tout l’événement certain sans chevauchement entre ses événements élémentaires. L’indépendance, en revanche, n’empêche pas deux événements de se réaliser simultanément et ne définit pas une partition.

Explication

Les événements d’une partition sont exclusifs et couvrent l’événement certain, donc la somme de leurs probabilités vaut $1$. L’égalité des probabilités exprimerait une équiprobabilité, qui n’est pas imposée par toute partition.

Explication

Chaque événement élémentaire a une probabilité de $1/8$, et trois événements distincts ont donc une probabilité totale de $3\times1/8=3/8$. La valeur $1/8$ correspond à un seul événement élémentaire, pas au sous-ensemble demandé.

Explication

Un événement certain se réalise avec une probabilité égale à $1$, tandis qu’un événement impossible a une probabilité égale à $0$. Inverser ces valeurs confond la certitude avec l’impossibilité.

Explication

Des événements mutuellement exclusifs ne peuvent pas se produire ensemble, donc $P(A\cap B)=0$ et leurs probabilités s’additionnent pour l’union. Le produit concerne une autre relation probabiliste et ne décrit pas cette addition.

Explication

Deux événements sont indépendants lorsque l’information indiquant que $B$ s’est réalisé ne change pas la probabilité de $A$. Rendre un événement impossible ou certain correspondrait à une relation de dépendance particulière, pas à l’indépendance.

Explication

L’indépendance signifie que le conditionnement par l’autre événement ne modifie pas les probabilités initiales, d’où ces deux égalités. Les autres relations confondent probabilité conditionnelle, complément et intersection.

Explication

La sensibilité mesure la capacité du test à détecter les personnes malades et s’écrit $P(T+\mid M+)$. La probabilité $P(T-\mid M-)$ correspond à la spécificité, qui concerne les personnes non malades.

Explication

La spécificité est la probabilité d’obtenir un résultat négatif parmi les personnes non malades, soit $P(T-\mid M-)$. La probabilité $P(T+\mid M+)$ décrit la sensibilité, car elle porte sur les vrais positifs.

Explication

Le dépistage vise à repérer les personnes malades et privilégie donc une grande sensibilité, ce qui limite les faux négatifs. Une grande spécificité est plutôt recherchée lors d’une confirmation, pour limiter les faux positifs.

Explication

La sensibilité et la spécificité sont des caractéristiques intrinsèques du test et ne varient pas avec la prévalence. En revanche, les valeurs prédictives, qui évaluent la maladie à partir du résultat observé, dépendent de la prévalence.

Explication

Une variable aléatoire discrète ne prend qu’un ensemble discret de valeurs, et chaque valeur possède une probabilité comprise entre 0 et 1. L’attribution d’une probabilité nulle à toute valeur isolée caractérise plutôt une variable continue.

Explication

La somme des probabilités de toutes les valeurs d’une variable discrète doit être égale à 1, et ici $0{,}2+0{,}5+0{,}3=1$. Le produit, la moyenne ou l’écart entre les valeurs ne constituent pas la condition de normalisation.

Explication

La relation $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ permet d’obtenir une covariance nulle sans garantir l’indépendance. L’indépendance implique certaines propriétés de covariance dans des conditions adaptées, mais la réciproque n’est pas assurée.

Explication

Une variable de Bernoulli décrit une seule épreuve binaire : elle vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec. Le comptage des succès lors de plusieurs épreuves indépendantes relève de la loi binomiale.

Explication

Pour une variable de Bernoulli, la variance vaut $pq$ avec $q=1-p$. Ici, $q=0{,}6$, donc $Var(X)=0{,}4\times0{,}6=0{,}24$, tandis que l’espérance vaut $p=0{,}4$.

Explication

La variable compte les succès de $n=10$ épreuves indépendantes ayant une probabilité de succès $p=0{,}7$, donc elle suit $B(10;0{,}7)$. Une loi de Bernoulli correspondrait à une seule épreuve et non à un total de dix réponses.

Explication

La formule binomiale est $P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}$. Pour $n=5$, $k=2$, $p=0{,}2$ et $q=0{,}8$, elle devient l’expression proposée.

Explication

Une variable continue peut prendre n’importe quelle valeur réelle dans un intervalle, mais la probabilité d’une valeur isolée est nulle. Les probabilités ponctuelles positives et la somme sur des valeurs distinctes caractérisent plutôt les variables discrètes.

Explication

La probabilité d’un intervalle est l’aire sous la densité entre ses deux bornes : $P(u\le X\le v)=\int_u^v f(x)\,dx$. La différence des valeurs de la densité ne représente pas cette aire.

Explication

Une densité ne peut pas être négative et son intégrale sur tout le domaine doit valoir 1, car cette intégrale représente la probabilité totale. Une fonction strictement croissante n’est pas requise.

Explication

La fonction de répartition cumule les probabilités jusqu’à $x$ et s’écrit $F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(v)\,dv$. La quantité $f(x)$ est une densité, tandis que pour une variable continue $P(X=x)=0$.

Explication

La variance mesure la dispersion autour de $m$ et influence l’aplatissement de la courbe en cloche. Le centre de la courbe est fixé par la moyenne $m$, et non par la variance.

Explication

La symétrie de la loi normale fait coïncider la moyenne, la médiane et le mode en $m$. Une distribution asymétrique peut séparer ces trois indicateurs, mais ce n’est pas le cas ici.

Explication

La soustraction de $m$ centre la variable et la division par $s$ réduit son écart-type à $1$, ce qui donne $Y\sim N(0,1)$. Conserver $m$ ou $s^2$ dans les paramètres ne correspond pas à cette transformation.

Explication

L’approximation normale de la loi binomiale est recommandée lorsque les deux produits $np$ et $nq$ atteignent au moins $5$. La seule taille de l’échantillon ou l’égalité entre $p$ et $q$ ne suffit pas à établir cette condition.