Fiche de révision : Probabilités sur un ensemble fini

📋 Plan du Cours

1. Univers et événements
2. Fonction de probabilité
3. Propriétés et équiprobabilité

📖 1. Univers et événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Univers des possibles : l’ensemble fini des résultats possibles d’une expérience aléatoire, noté $\Omega = \{\omega_1, \cdots, \omega_n\}$.
• Événement : un sous-ensemble de l’univers Ω, et sa probabilité mesure la chance que le résultat de l’expérience appartienne à A.
• Partition : Des événements forment une partition de Ω s’ils sont deux à deux disjoints et si leur union est Ω, de sorte que chaque résultat appartient à un et un seul événement de la partition.

📝 Points essentiels

📌 Un événement élémentaire, aussi appelé singleton, contient exactement un élément de Ω.

💡 Astuce mémo

L’univers Ω contient les possibles, tandis qu’un événement A en sélectionne certains.

📖 2. Fonction de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité : Sur un ensemble fini Ω, une probabilité est une fonction $P : \mathcal{P}(\Omega) \to [0{,}1]$ qui vérifie $P(\Omega)=1$ et l’additivité sur les événements disjoints.
• Espace probabilisé : Le triplet $\left(\Omega,\mathcal{P}(\Omega),P\right)$ est appelé espace probabilisé.

📝 Points essentiels

📌 Pour deux événements disjoints A et B, la probabilité de leur réunion est la somme de leurs probabilités : $P(A\sqcup B)=P(A)+P(B)$.

💡 Astuce mémo

Univers → événements → probabilités.

📖 3. Propriétés et équiprobabilité

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux événements A et B, la formule générale de l’union est $P(A)+P(B)=P(A\cup B)+P(A\cap B)$.

📐 Formule — Lorsque les événements élémentaires sont équiprobables, tout événement A vérifie $P(A)=\frac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)}$.

• La probabilité de l’événement impossible est nulle : $P(\varnothing)=0$.

• La probabilité P est entièrement déterminée par les n probabilités des événements élémentaires $P(\{\omega_1\}),\cdots,P(\{\omega_n\})$.

Compléments

📐 Formule — Pour deux événements A et B, on a $P(A)=P(A\setminus B)+P(A\cap B)$.

💡 Astuce mémo

Événements disjoints → addition des probabilités.