QCM : Probabilités sur un ensemble fini — 9 questions

Question 1

1. Dans un univers équiprobable de $20$ résultats, un événement $A$ contient $5$ résultats. Quelle est sa probabilité ?

\frac{4}{5}

\frac{1}{4}

\frac{1}{5}

\frac{5}{20}+1

Explication

Lorsque les résultats élémentaires sont équiprobables, on utilise $P(A)=\frac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)}$ , soit $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$ . Le rapport inverse donnerait la proportion de résultats de l’univers par rapport à l’événement.

Answer

$$\frac{1}{4}$$

Question 2

2. Quelle condition caractérise une probabilité définie sur un ensemble fini $\Omega$ ?

C’est une fonction de

[0,1]

vers

\mathcal{P}(\Omega)

, avec

P(\Omega)=0

et conservation des intersections

C’est une fonction de

\mathcal{P}(\Omega)

vers

[0,1]

, avec

P(\Omega)=1

et additivité sur les événements disjoints

C’est une fonction de

\mathcal{P}(\Omega)

vers

\mathbb{R}

, avec

P(\Omega)=1

et égalité des probabilités

C’est une fonction de

\Omega

vers

[0,1]

, avec

P(\varnothing)=1

et additivité sur tous les événements

Explication

Une probabilité associe à chaque événement de $\mathcal{P}(\Omega)$ une valeur de $[0,1]$ , vérifie $P(\Omega)=1$ et est additive pour des événements disjoints. L’additivité ne s’étend pas de cette manière à des événements qui se recouvrent.

Answer

C’est une fonction de $$\mathcal{P}(\Omega)$$ vers $$[0,1]$$, avec $$P(\Omega)=1$$ et additivité sur les événements disjoints

Question 3

3. Quelles données déterminent entièrement une probabilité sur un univers fini comportant $n$ résultats ?

La probabilité de l’événement impossible et celle de

\Omega

Les probabilités des

n

événements élémentaires

Le nombre total d’événements de

\mathcal{P}(\Omega)

La seule valeur de la probabilité de

\Omega

Explication

Les probabilités des singletons associés aux résultats élémentaires permettent de calculer la probabilité de chaque événement. La condition $P(\Omega)=1$ est nécessaire, mais elle ne suffit pas à déterminer la répartition entre les résultats.

Answer

Les probabilités des $$n$$ événements élémentaires

Question 4

4. Quelle est la probabilité de l’événement impossible dans un espace probabilisé ?

P(\varnothing)

dépend du nombre de résultats de

\Omega

P(\varnothing)=1

P(\varnothing)=P(\Omega)

P(\varnothing)=0

Explication

L’événement impossible ne contient aucun résultat et sa probabilité est donc nulle. L’univers $\Omega$ , au contraire, représente un résultat possible de l’expérience et vérifie $P(\Omega)=1$ .

Answer

$$P(\varnothing)=0$$

Question 5

5. Pour deux événements quelconques $A$ et $B$ , quelle relation relie leurs probabilités à celles de leur réunion et de leur intersection ?

P(A)+P(B)=P(A\cup B)+P(A\cap B)

P(A)P(B)=P(A\cup B)+P(A\cap B)

P(A)+P(B)=P(A\cup B)-P(A\cap B)

P(A\cup B)=P(A\cap B)-P(A)-P(B)

Explication

La formule générale de l’union s’écrit $P(A)+P(B)=P(A\cup B)+P(A\cap B)$ , car l’intersection est comptée deux fois dans la somme initiale. La formule additive sans correction concerne le cas particulier d’événements disjoints.

Answer

$$P(A)+P(B)=P(A\cup B)+P(A\cap B)$$

Question 6

6. Si deux événements disjoints $A$ et $B$ ont des probabilités $0{,}3$ et $0{,}4$ , quelle est la probabilité de leur réunion ?

0{,}7

0{,}12

0{,}4

0{,}1

Explication

Pour des événements disjoints, l’additivité donne $P(A\sqcup B)=P(A)+P(B)$ , donc $0{,}3+0{,}4=0{,}7$ . Le produit correspondrait à une autre opération et ne convient pas à la réunion de ces événements.

Answer

Lorsqu’ils sont deux à deux disjoints et que leur union vaut $$\Omega$$

Answer

Comme un sous-ensemble de $$\Omega$$

Answer

L’ensemble fini de tous les résultats possibles

Question 7

7. Dans quelle situation des événements forment-ils une partition de $\Omega$ ?

Lorsqu’ils sont deux à deux disjoints et que leur union vaut

\Omega

Lorsqu’ils ont tous la même probabilité et couvrent une partie de

\Omega

Lorsqu’ils sont inclus dans

\Omega

et qu’au moins un résultat reste hors de leurs ensembles

Lorsqu’ils possèdent un élément commun et que leur union vaut

\Omega

Explication

Une partition est constituée d’événements deux à deux disjoints dont l’union est $\Omega$ . Chaque résultat appartient ainsi à un seul événement de la partition, contrairement à des ensembles qui se recouvrent.

Question 8

8. Si $\Omega$ est l’univers d’une expérience aléatoire, comment définit-on un événement $A$ ?

Comme une valeur comprise entre zéro et un

Comme une fonction associant un nombre à chaque résultat

Comme un sous-ensemble de

\Omega

Comme l’ensemble des résultats les plus fréquents

Explication

Un événement $A$ est un sous-ensemble de l’univers $\Omega$ , et sa probabilité mesure la chance que le résultat appartienne à cet ensemble. Une valeur entre zéro et un représente plutôt une probabilité.

Question 9

9. Dans une expérience aléatoire finie, que représente l’univers des possibles $\Omega$ ?

L’ensemble fini de tous les résultats possibles

L’ensemble des événements ayant une probabilité positive

L’ensemble des résultats considérés comme les plus vraisemblables

L’ensemble des résultats obtenus après l’expérience

Explication

L’univers $\Omega$ regroupe tous les résultats possibles de l’expérience aléatoire. Il ne correspond pas seulement aux résultats effectivement observés ni à ceux qui semblent les plus probables.

QCM : Probabilités sur un ensemble fini — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans un univers équiprobable de $20$ résultats, un événement $A$ contient $5$ résultats. Quelle est sa probabilité ?

2. Quelle condition caractérise une probabilité définie sur un ensemble fini $\Omega$ ?

3. Quelles données déterminent entièrement une probabilité sur un univers fini comportant $n$ résultats ?

4. Quelle est la probabilité de l’événement impossible dans un espace probabilisé ?

5. Pour deux événements quelconques $A$ et $B$ , quelle relation relie leurs probabilités à celles de leur réunion et de leur intersection ?

6. Si deux événements disjoints $A$ et $B$ ont des probabilités $0{,}3$ et $0{,}4$ , quelle est la probabilité de leur réunion ?

7. Dans quelle situation des événements forment-ils une partition de $\Omega$ ?

8. Si $\Omega$ est l’univers d’une expérience aléatoire, comment définit-on un événement $A$ ?

9. Dans une expérience aléatoire finie, que représente l’univers des possibles $\Omega$ ?

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QCM : Probabilités sur un ensemble fini — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans un univers équiprobable de 202020 résultats, un événement AAA contient 555 résultats. Quelle est sa probabilité ?

2. Quelle condition caractérise une probabilité définie sur un ensemble fini Ω\OmegaΩ ?

3. Quelles données déterminent entièrement une probabilité sur un univers fini comportant nnn résultats ?

4. Quelle est la probabilité de l’événement impossible dans un espace probabilisé ?

5. Pour deux événements quelconques AAA et BBB, quelle relation relie leurs probabilités à celles de leur réunion et de leur intersection ?

6. Si deux événements disjoints AAA et BBB ont des probabilités 0,30{,}30,3 et 0,40{,}40,4, quelle est la probabilité de leur réunion ?

7. Dans quelle situation des événements forment-ils une partition de Ω\OmegaΩ ?

8. Si Ω\OmegaΩ est l’univers d’une expérience aléatoire, comment définit-on un événement AAA ?

9. Dans une expérience aléatoire finie, que représente l’univers des possibles Ω\OmegaΩ ?

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1. Dans un univers équiprobable de $20$ résultats, un événement $A$ contient $5$ résultats. Quelle est sa probabilité ?

2. Quelle condition caractérise une probabilité définie sur un ensemble fini $\Omega$ ?

3. Quelles données déterminent entièrement une probabilité sur un univers fini comportant $n$ résultats ?

5. Pour deux événements quelconques $A$ et $B$ , quelle relation relie leurs probabilités à celles de leur réunion et de leur intersection ?

6. Si deux événements disjoints $A$ et $B$ ont des probabilités $0{,}3$ et $0{,}4$ , quelle est la probabilité de leur réunion ?

7. Dans quelle situation des événements forment-ils une partition de $\Omega$ ?

8. Si $\Omega$ est l’univers d’une expérience aléatoire, comment définit-on un événement $A$ ?

9. Dans une expérience aléatoire finie, que représente l’univers des possibles $\Omega$ ?