Fiche de révision : Probabilités, volumes et arithmétique

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire des probabilités
2. Calcul et propriétés des probabilités
3. Expériences à plusieurs épreuves
4. Nombres relatifs et fractions
5. Formules des volumes
6. Conversions et problèmes de volumes
7. Divisibilité et nombres premiers
8. Décomposition et PGCD
9. Fractions irréductibles

📖 1. Vocabulaire des probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Expérience dont toutes les issues possibles sont connues, qui peut être reproduite dans les mêmes conditions et dont le résultat n’est pas prévisible car il dépend du hasard.
• Issue : Résultat possible d’une expérience aléatoire, comme obtenir 6 ou obtenir pile.
• Événement : Ensemble d’issues d’une expérience aléatoire, comme obtenir un nombre pair.
• Équiprobabilité : Une situation est équiprobable lorsque toutes les issues ont la même chance de se réaliser.

📝 Points essentiels

📌 Un événement impossible ne se réalise jamais, tandis qu’un événement certain se réalise à chaque fois.

📖 2. Calcul et propriétés des probabilités

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A vérifie $P(A)=\frac{\text{nombre d’issues favorables à }A}{\text{nombre d’issues possibles}}$.

• Pour un dé à 6 faces, la probabilité d’obtenir un nombre pair est $P(\text{pair})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0{,}5=50\%$.

📌 Toute probabilité est comprise entre 0 et 1, soit $0\leq P\leq1$.

📐 Formule - Pour un événement A et son contraire non A, $P(A)+P(\text{non }A)=1$.

💡 Astuce mémo

Probabilité calculée à l’avance, fréquence observée après répétition.

📖 3. Expériences à plusieurs épreuves

★ À maîtriser

• Pour une expérience à deux épreuves, on énumère les issues de la première épreuve, puis celles de la deuxième, afin de former toutes les issues composées.

• Pour deux lancers d’une pièce équilibrée, les quatre issues sont (pile ; pile), (face ; pile), (pile ; face) et (face ; face), donc la probabilité d’obtenir deux piles est $P(\text{pile ; pile})=\frac{1}{4}$.

📌 La fréquence s’observe en répétant une expérience, tandis que la probabilité se calcule à l’avance sans réaliser l’expérience.

Compléments

• Lors de 200 lancers d’une pièce donnant 96 fois pile, la fréquence de pile est $\frac{96}{200}=48\%$, tandis que sa probabilité est $\frac{1}{2}=50\%$.

💡 Astuce mémo

Premier lancer → deuxième lancer → issue composée.

📖 4. Nombres relatifs et fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre relatif : Nombre précédé d’un signe +, indiquant un nombre positif, ou d’un signe −, indiquant un nombre négatif.
• Fraction : Quotient de deux nombres, avec un dénominateur non nul.

★ À maîtriser

📌 Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leurs valeurs absolues et on conserve leur signe commun.

📌 Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents, on soustrait les valeurs absolues et on garde le signe du nombre ayant la plus grande valeur absolue.

📐 Formule - Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : $a-b=a+(-b)$.

📌 Le produit de deux nombres de même signe est positif, tandis que le produit de deux nombres de signes différents est négatif.

📌 Pour additionner des fractions de dénominateurs différents, on les met au même dénominateur avant d’additionner les numérateurs.

Compléments

📐 Formule - La multiplication de fractions vérifie $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$.

📐 Formule - Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

💡 Astuce mémo

Même signe : on additionne ; signes différents : on soustrait.

📖 5. Formules des volumes

★ À maîtriser

📐 Formule - Le volume d’un cube de côté c vérifie $V=c^3$, celui d’un pavé droit vérifie $V=L\times l\times h$, et celui d’un prisme droit vérifie $V=B\times h$.

📐 Formule - Le volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h vérifie $V=\pi R^2h$.

📐 Formule - Le volume d’un cône ou d’une pyramide vérifie respectivement $V=\frac{\pi r^2h}{3}$ et $V=\frac{Bh}{3}$.

Compléments

📐 Formule - Le volume d’une boule de rayon R vérifie $V=\frac{4\pi R^3}{3}$.

📖 6. Conversions et problèmes de volumes

★ À maîtriser

• Le tableau des unités de volume est:
  • km³
  • hm³
  • dam³
  • m³
  • dm³
  • cm³
  • mm³

📌 Un litre équivaut à un décimètre cube et 1 000 litres équivalent à un mètre cube : $1\,L=1\,dm^3$ et $1\,000\,L=1\,m^3$.

• Pour calculer le volume du silo composé d’un cylindre et d’un cône de même rayon, on calcule séparément les deux volumes, puis on les additionne et on convertit le résultat en litres.

• Pour le silo de rayon 4,5 m, de hauteur cylindrique 10 m et de hauteur conique 2,5 m, le volume total est d’environ 689 m³, soit 689 000 L, donc il est inférieur à 700 000 L.

Compléments

• Les conversions données sont $84\,cm^3=0{,}084\,L$, $54\,cm^3=0{,}054\,dm^3$ et $7{,}4\,dam^3=740\,m^3$.

💡 Astuce mémo

Conversion correcte → comparaison fiable des contenances.

📖 7. Divisibilité et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur : Nombre b tel que la division euclidienne de n par b laisse un reste égal à 0.
• Nombre premier : Nombre qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
• Multiple : Nombre obtenu en multipliant n par un entier.

★ À maîtriser

📌 Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5, et par 3 ou 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ou par 9.

Compléments

📌 Un nombre composé est un nombre qui possède plus de deux diviseurs, contrairement à un nombre premier qui en possède exactement deux.

💡 Astuce mémo

Unités 2-5, somme des chiffres 3-9.

📖 8. Décomposition et PGCD

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition en facteurs premiers : Écriture d’un nombre comme produit de nombres premiers.
• PGCD : Plus grand commun diviseur de deux nombres.

★ À maîtriser

• Pour calculer le PGCD de deux nombres par décomposition, on décompose les deux nombres en facteurs premiers, on conserve les facteurs premiers communs et on les multiplie.

• Comme $60=2^2\times3\times5$ et $48=2^4\times3$, on obtient $PGCD(60{,}48)=2^2\times3=12$.

Compléments

• Les décompositions données sont $60=2^2\times3\times5$ et $2904=2^3\times3\times11^2$.

💡 Astuce mémo

Décomposer → garder les facteurs communs → multiplier.

📖 9. Fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres premiers entre eux : Nombres dont le PGCD est égal à 1 et qui ont comme seul diviseur commun 1.
• Fraction irréductible : Fraction dont le numérateur et le dénominateur n’ont pas d’autre diviseur commun que 1.

★ À maîtriser

📌 Pour simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par leur PGCD.

Compléments

• La fraction $\frac{90}{120}$ se simplifie par leur PGCD égal à 30 et devient $\frac{3}{4}$.

💡 Astuce mémo

PGCD égal à 1 → fraction irréductible.

📊 Tableaux de synthèse

Types d’événements et probabilités

Formules principales des volumes