Fiche de révision : Problème de Cauchy

📋 Plan du Cours

1. Motivation et cadre initial
2. Définition du problème de Cauchy
3. Condition de Lipschitz
4. Convexité et critère différentiel
5. Théorème de Cauchy-Lipschitz
6. Problèmes bien posés
7. Exemple de stabilité quantitative

📖 1. Motivation et cadre initial

🔑 Notions clés & Définitions

• Problème à valeur initiale : Équation différentielle d'ordre 1, linéaire ou non linéaire, portant sur une fonction du temps et accompagnée d'une condition initiale $y(t_0)=x$.

★ À maîtriser

📌 Les équations différentielles linéaires à coefficients constants ou d'ordre peu élevé peuvent souvent être résolues analytiquement, tandis que de nombreuses équations différentielles non linéaires nécessitent une résolution numérique.

• La vitesse v(t) d'un projectile de masse m soumis à la pesanteur g et au frottement de l'air de coefficient k vérifie $m v'(t)=mg-k|v|v$ avec la condition initiale $v(0)=v_0$.

Compléments

• Les méthodes numériques calculent sur ordinateur une solution approchée d'un problème différentiel lorsque sa solution analytique ne peut pas être obtenue simplement.

💡 Astuce mémo

Non-linéarité → résolution numérique → solution approchée

📖 2. Définition du problème de Cauchy

🔑 Notions clés & Définitions

• Problème de Cauchy : Consiste à déterminer une fonction $y:[a,b]\to\mathbb{R}$ vérifiant $y'(t)=f(t,y(t))$ et $y(a)=\alpha$, où $\alpha\in\mathbb{R}$.

★ À maîtriser

• Le problème $y'(t)=t y(t),\ y(0)=1$ sur $[0{,}1]$ admet l'unique solution $y(t)=e^{t^2/2}$.

Compléments

• Dans un problème de Cauchy, t représente le temps, y(t) est la fonction inconnue, f est définie sur $[a,b]\times\mathbb{R}$ et le temps est limité à l'intervalle $[a,b]$.

💡 Astuce mémo

Avec condition initiale : solution unique ; sans elle : famille de solutions

📖 3. Condition de Lipschitz

🔑 Notions clés & Définitions

• Condition de Lipschitz : Fonction f(t,y) vérifie une condition de Lipschitz de constante L sur D si $|f(t,y_1)-f(t,y_2)|\le L|y_1-y_2|$ pour tous les couples concernés de D.

★ À maîtriser

• Sur $D=\{(t,y):1\le t\le2,\ -3\le y\le4\}$, la fonction $f(t,y)=t|y|$ est lipschitzienne par rapport à y avec la constante $L=2$.

Compléments

• L'inégalité $||x_1|-|x_2||\le|x_1-x_2|\le|x_1|+|x_2|$ permet de majorer les différences de valeurs absolues.

📖 4. Convexité et critère différentiel

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine convexe : Ensemble $D\subset\mathbb{R}^2$ tel que, pour deux points de D et tout $d\in[0{,}1]$, le point $((1-d)t_1+dt_2,(1-d)y_1+dy_2)$ appartient encore à D.

★ À maîtriser

📌 Si D est convexe, si la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial y}$ est continue sur D et si $\left|\frac{\partial f}{\partial y}(t,y)\right|\le L$ sur D, alors f est lipschitzienne par rapport à y avec la constante L.

Compléments

• Sur le rectangle précédent, la fonction $f(t,y)=t^2\cos(t)y$ vérifie $\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|=|t^2\cos(t)|\le4$, donc elle est lipschitzienne avec $L=4$.

📖 5. Théorème de Cauchy-Lipschitz

📝 Points essentiels

📌 Si f est continue sur un domaine convexe $D=\{(t,y):a\le t\le b,\ -\infty<y<+\infty\}$ et lipschitzienne par rapport à y sur D, alors le problème de Cauchy admet une solution unique y(t) de classe $C^1$.

• Pour $y'(t)=1+t\sin(ty),\ y(0)=0$ sur $0\le t\le2$, la fonction f est continue et vérifie $\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|=|t^2\cos(ty)|\le4$, donc le problème admet une solution unique.

💡 Astuce mémo

Continuité + Lipschitz = existence et unicité

📖 6. Problèmes bien posés

🔑 Notions clés & Définitions

• Problème bien posé : S'il admet une solution unique et si cette solution dépend continûment de la donnée initiale α et de la fonction f.

★ À maîtriser

📌 Si le problème perturbé $z'(t)=f(t,z(t))+\delta(t),\ z(a)=\alpha+\varepsilon_0$ vérifie $|\delta(t)|<\varepsilon$ et $|\varepsilon_0|<\varepsilon$, alors il existe K>0 tel que $|z(t)-y(t)|\le K\varepsilon$ sur $[a,b]$.

Compléments

• Lorsque $\varepsilon$ tend vers 0, la solution du problème perturbé converge vers la solution exacte du problème de Cauchy.

💡 Astuce mémo

Petites perturbations → faible variation de la solution

📖 7. Exemple de stabilité quantitative

★ À maîtriser

• Pour $y'(t)=y-t^2+1$, $y(0)=\frac12$ sur $[0{,}2]$, la solution exacte est $y(t)=(t+1)^2-\frac12e^t$.

📐 Formule — Sur $[0{,}2]$, si $|\delta|<\varepsilon$ et $|\varepsilon_0|<\varepsilon$, alors $|z(t)-y(t)|\le(2e^2+1)\varepsilon$.

📌 Le choix $K=2e^2+1>0$ montre que la solution perturbée converge vers la solution exacte lorsque $\varepsilon$ tend vers 0.

Compléments

• Pour le problème perturbé associé, $z'(t)=z(t)-t^2+1+\delta$ et $z(0)=\frac12+\varepsilon_0$, la solution est $z(t)=(\delta+\varepsilon_0-\frac12)e^t+(t+1)^2-\delta$.

📊 Tableaux de synthèse

Conditions et conséquences