Flashcards : Problème de Cauchy — 33 cartes

Quelle différence existe entre équations différentielles linéaires et non linéaires en résolution?

Quelle équation vérifie la vitesse d'un projectile soumis à pesanteur et frottement?

Pourquoi utilise-t-on des méthodes numériques pour les problèmes différentiels?

Qu'est-ce qu'un problème à valeur initiale en équations différentielles?

Qu'est-ce qu'un problème de Cauchy ?

Que représente la variable t dans un problème de Cauchy ?

Sur quel domaine la fonction f est-elle définie dans un problème de Cauchy ?

Quelle est la condition initiale dans un problème de Cauchy ?

Quelle est la solution unique du problème $y'(t)=t y(t),\ y(0)=1$ sur $[0,1]$ ?

Qu'impose la condition de Lipschitz sur une fonction f(t,y) ?

Quelle constante Lipschitz pour f(t,y)=t|y| sur D avec 1≤t≤2 et -3≤y≤4 ?

Quelle inégalité permet de majorer les différences de valeurs absolues ?

Qu'impose la convexité d'un domaine $D\subset\mathbb{R}^2$ ?

Quelle condition sur $\frac{\partial f}{\partial y}$ garantit que f est lipschitzienne en y sur un domaine convexe ?

Quelle propriété de f découle de $\left|\frac{\partial f}{\partial y}(t,y)\right|\le L$ sur un domaine convexe ?

Quelle est la fonction $f$ de l'exemple sur le rectangle précédent ?

Quelle borne pour $\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|$ est vérifiée dans l'exemple ?

Quelle constante de Lipschitz est associée à $f(t,y)=t^2\cos(t)y$ sur le rectangle ?

Qu'impose la continuité et la condition de Lipschitz sur f dans le théorème de Cauchy-Lipschitz ?

Quel est le domaine convexe $D$ dans le théorème de Cauchy-Lipschitz ?

Quelle est la condition sur $f$ pour garantir l'unicité de la solution dans le théorème de Cauchy-Lipschitz ?

Quelle est la fonction $f$ dans l'exemple $y'(t)=1+t\sin(ty)$ ?

Quelle borne sur $\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|$ garantit l'unicité dans l'exemple ?

Quelle condition initiale est donnée dans l'exemple pour $y'(t)=1+t\sin(ty)$ ?

Quelles conditions définissent un problème de Cauchy bien posé ?

Quelle inégalité borne la perturbation δ(t) dans le problème perturbé ?

Quelle inégalité borne la perturbation initiale $\varepsilon_0$ dans le problème perturbé ?

Quelle conséquence existe si $|\delta(t)|<\varepsilon$ et $|\varepsilon_0|<\varepsilon$ ?

Que se passe-t-il lorsque $\varepsilon$ tend vers 0 pour la solution perturbée ?

Quelle est la solution exacte de $y'(t)=y-t^2+1$ avec $y(0)=\frac12$ sur $[0,2]$ ?

Quelle est la solution du problème perturbé $z'(t)=z(t)-t^2+1+\delta$ avec $z(0)=\frac12+\varepsilon_0$ ?

Quelle inégalité lie $|z(t)-y(t)|$ à $\varepsilon$ sur $[0,2]$ si $|\delta|<\varepsilon$ et $|\varepsilon_0|<\varepsilon$ ?

Que montre le choix $K=2e^2+1>0$ concernant la solution perturbée ?