QCM : Problème de Cauchy — 16 questions

Question 1

1. Pourquoi de nombreuses équations différentielles non linéaires sont-elles résolues numériquement ?

Leur solution analytique ne peut pas toujours être obtenue simplement

Leur condition initiale rend impossible toute approximation numérique

Leur ordre peu élevé interdit l'utilisation de formules exactes

Leurs coefficients constants empêchent toute intégration directe

Explication

Les équations non linéaires sont souvent trop difficiles à résoudre sous forme analytique, ce qui motive l'emploi de méthodes numériques. Les coefficients constants et l'ordre peu élevé caractérisent plutôt des équations souvent accessibles analytiquement.

Answer

Leur solution analytique ne peut pas toujours être obtenue simplement

Question 2

2. Quelle propriété montre que l'équation $m v'(t)=mg-k|v|v$ d'un projectile est non linéaire en $v$ ?

La vitesse initiale est fixée par la condition

v(0)=v_0

La masse

m

multiplie la dérivée temporelle de la vitesse

La pesanteur

g

intervient comme un paramètre constant

Le terme

|v|v

dépend de manière non linéaire de la vitesse

Explication

Le produit $|v|v$ n'est pas une combinaison linéaire de $v$ , donc l'équation est non linéaire en cette inconnue. La présence d'une dérivée, de paramètres constants ou d'une condition initiale ne suffit pas à rendre une équation non linéaire.

Answer

Le terme $$|v|v$$ dépend de manière non linéaire de la vitesse

Question 3

3. Qu'est-ce qui caractérise un problème à valeur initiale ?

Une équation différentielle accompagnée d'une condition

y(t_0)=x

Une équation différentielle dont tous les coefficients sont constants

Une équation différentielle imposant une valeur finale pour la fonction

Une équation différentielle dont la solution est donnée sous forme explicite

Explication

Un problème à valeur initiale associe une équation différentielle d'ordre un à une condition prescrite au temps initial. Une équation seule peut admettre plusieurs solutions et n'impose pas nécessairement une valeur finale ou une expression explicite.

Answer

Une équation différentielle accompagnée d'une condition $$y(t_0)=x$$

Question 4

4. Quelle formulation définit un problème de Cauchy sur $[a,b]$ ?

Déterminer

y:[a,b]\to\mathbb{R}

tel que

y(t)=f'(t,y'(t))

et

y(b)=\alpha

Déterminer

y:[a,b]\to\mathbb{R}

tel que

y'(t)=f(t,y(t))

et

y(a)=\alpha

Déterminer

f:[a,b]\to\mathbb{R}

tel que

f'(t)=y(t)

et

f(b)=\alpha

Déterminer

y:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

tel que

y'(t)=f(t,y(t))

sans condition imposée

Explication

Un problème de Cauchy prescrit une équation différentielle et une donnée initiale en $a$ , avec une fonction recherchée définie sur $[a,b]$ . L'absence de condition initiale ou le remplacement de l'équation par une relation différente ne correspond pas à cette définition.

Answer

Déterminer $$y:[a,b]\to\mathbb{R}$$ tel que $$y'(t)=f(t,y(t))$$ et $$y(a)=\alpha$$

Question 5

5. Quelle est la solution du problème $y'(t)=t y(t)$ , $y(0)=1$ sur $[0,1]$ ?

y(t)=\lambda e^{t^2/2}

pour tout

\lambda\in\mathbb{R}

y(t)=t e^{t^2/2}

y(t)=e^t

y(t)=e^{t^2/2}

Explication

La condition initiale sélectionne dans la famille des solutions celle qui vaut $1$ en $t=0$ , ce qui donne $y(t)=e^{t^2/2}$ . L'expression avec un paramètre décrit la famille générale avant l'imposition de la condition initiale.

Answer

$$y(t)=e^{t^2/2}$$

Question 6

6. Quelle inégalité exprime la condition de Lipschitz de constante $L$ par rapport à $y$ pour une fonction $f(t,y)$ ?

|f(t,y_1)-f(t,y_2)|\le L|y_1-y_2|

pour les couples considérés

|f(t,y_1)-f(t,y_2)|\ge L|y_1-y_2|

pour les couples considérés

|f(t,y_1)-f(t,y_2)|\le L|y_1+y_2|

pour les couples considérés

|f(t,y_1)+f(t,y_2)|\le L|y_1-y_2|

pour les couples considérés

Explication

La condition de Lipschitz contrôle la variation de $f$ par la distance entre les deux valeurs de la variable $y$ . Une somme dans le membre de droite ou une inégalité inversée ne fournit pas cette majoration des variations.

Answer

$$|f(t,y_1)-f(t,y_2)|\le L|y_1-y_2|$$ pour les couples considérés

Question 7

7. Sur $D=\{(t,y):1\le t\le2,-3\le y\le4\}$ , quelle constante de Lipschitz convient pour $f(t,y)=t|y|$ par rapport à $y$ ?

L=2

, car

t\le2

et

\big||y_1|-|y_2|\big|\le|y_1-y_2|

L=1

, car la fonction valeur absolue ne modifie pas les distances

L=3

, car la borne inférieure de

y

vaut

-3

L=4

, car la variable

y

appartient à un intervalle de longueur sept

Explication

On a $|t|\,\big||y_1|-|y_2|\big|\le2|y_1-y_2|$ sur le domaine, donc $L=2$ convient. La borne de Lipschitz dépend ici de la borne de $t$ et de l'inégalité sur la valeur absolue, non de la longueur ou des extrémités de l'intervalle en $y$ .

Answer

$$L=2$$, car $$t\le2$$ et $$\big||y_1|-|y_2|\big|\le|y_1-y_2|$$

Question 8

8. Quelle condition caractérise la convexité d’un domaine $D\subset\mathbb{R}^2$ ?

Toute frontière reliant deux points de

D

reste contenue dans

D

.

Tout cercle centré en un point de

D

reste contenu dans

D

.

Toute droite passant par deux points de

D

reste contenue dans

D

.

Tout segment reliant deux points de

D

reste contenu dans

D

.

Explication

La convexité signifie que, pour deux points du domaine, chaque combinaison convexe de ces points appartient encore au domaine, ce qui revient à dire que le segment qui les relie y est inclus. Une droite entière peut sortir du domaine, même lorsque celui-ci est convexe.

Answer

Tout segment reliant deux points de $$D$$ reste contenu dans $$D$$.

Question 9

9. Sur un domaine convexe, quelles hypothèses permettent de conclure que $f$ est lipschitzienne par rapport à $y$ avec une constante $L$ ?

\frac{\partial f}{\partial t}

est continue et sa valeur absolue est majorée par

L

sur le domaine.

f

est continue et sa valeur absolue est majorée par

L

sur le domaine.

\frac{\partial f}{\partial y}

est continue et sa valeur absolue est majorée par

L

sur le domaine.

f

est dérivable par rapport à

y

et sa valeur absolue est majorée par

L

sur le domaine.

Explication

La continuité de $\frac{\partial f}{\partial y}$ et la majoration $\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|\le L$ fournissent le critère différentiel de Lipschitz en $y$ sur un domaine convexe. Une borne sur $f$ ou sur sa dérivée selon $t$ ne contrôle pas directement les variations par rapport à $y$ .

Answer

$$\frac{\partial f}{\partial y}$$ est continue et sa valeur absolue est majorée par $$L$$ sur le domaine.

Question 10

10. Quelle conclusion garantit le théorème de Cauchy-Lipschitz lorsque $f$ est continue et lipschitzienne par rapport à $y$ sur le domaine considéré ?

Le problème de Cauchy admet une solution continue, qui peut manquer d’unicité.

Le problème de Cauchy admet une solution, sans information sur son unicité.

Le problème de Cauchy admet une solution unique, sans garantie de régularité.

Le problème de Cauchy admet une solution unique de classe

C^1

.

Explication

La continuité de $f$ , associée à une condition de Lipschitz en $y$ , assure l’existence et l’unicité d’une solution $y(t)$ de classe $C^1$ . La continuité de $f$ prise isolément ne suffit pas à garantir l’unicité.

Answer

Le problème de Cauchy admet une solution unique de classe $$C^1$$.

Question 11

11. Pour le problème $y'(t)=1+t\sin(ty)$ , $y(0)=0$ sur $[0,2]$ , pourquoi une solution unique est-elle garantie ?

Parce que

\left|f(t,y)\right|

est majorée par

4

sur tout le domaine.

Parce que

f(t,y)=1+t\sin(ty)

est continue et vérifie

\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|\le4

.

Parce que la condition initiale vaut zéro et rend l’équation indépendante de

y

.

Parce que la dérivée

\frac{\partial f}{\partial t}

est majorée par

4

sur tout le domaine.

Explication

On a $\frac{\partial f}{\partial y}=t^2\cos(ty)$ , donc $\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|\le4$ pour $0\le t\le2$ , tandis que $f$ est continue. Ces propriétés permettent d’appliquer Cauchy-Lipschitz et d’obtenir l’unicité.

Answer

Parce que $$f(t,y)=1+t\sin(ty)$$ est continue et vérifie $$\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|\le4$$.

Question 12

12. À quelle condition un problème de Cauchy est-il dit bien posé ?

Il possède plusieurs solutions continues qui dépendent de la donnée initiale.

Il possède une solution unique, même lorsque la fonction varie de façon discontinue.

Il possède une solution explicite qui ne dépend pas de la donnée initiale.

Il possède une solution unique qui dépend continûment de la donnée initiale et de la fonction.

Explication

Un problème bien posé doit avoir une solution unique et cette solution doit varier continûment lorsque la donnée initiale ou la fonction est perturbée. L’existence et l’unicité seules ne suffisent donc pas à établir la bonne position.

Answer

Il possède une solution unique qui dépend continûment de la donnée initiale et de la fonction.

Question 13

13. Si une solution perturbée vérifie $|\delta(t)|<\varepsilon$ et $|\varepsilon_0|<\varepsilon$ , quelle estimation peut-on obtenir sur $[a,b]$ ?

Il existe

K>0

tel que

|z(t)-y(t)|\le K\,|\delta(t)|

.

Il existe

K>0

tel que

|z(t)-y(t)|\le K\varepsilon

.

Il existe

K>0

tel que

|z(t)-y(t)|\le K+\varepsilon

.

Il existe

K>0

tel que

|z(t)-y(t)|\le \varepsilon^K

.

Explication

La stabilité du problème perturbé se traduit par une majoration uniforme de l’écart entre les solutions, $|z(t)-y(t)|\le K\varepsilon$ sur l’intervalle. Une expression en $K+\varepsilon$ ne montre pas que l’écart diminue avec l’amplitude des perturbations.

Answer

Il existe $$K>0$$ tel que $$|z(t)-y(t)|\le K\varepsilon$$.

Question 14

14. Quelle est la solution exacte du problème $y'(t)=y-t^2+1$ avec $y(0)=\frac12$ sur $[0,2]$ ?

y(t)=(t-1)^2-\frac12e^t

y(t)=\frac12(t+1)^2-e^t

y(t)=(t+1)^2+\frac12e^t

y(t)=(t+1)^2-\frac12e^t

Explication

La condition initiale et l’équation conduisent à $y(t)=(t+1)^2-\frac12e^t$ . Une solution générale conserve une constante arbitraire, tandis que la condition $y(0)=\frac12$ fixe précisément cette constante.

Answer

$$y(t)=(t+1)^2-\frac12e^t$$

Question 15

15. Sous les hypothèses $|\delta|<\varepsilon$ et $|\varepsilon_0|<\varepsilon$ , quelle borne contrôle l’écart entre la solution perturbée et la solution exacte sur $[0,2]$ ?

|z(t)-y(t)|\le(2e+1)\varepsilon

|z(t)-y(t)|\le(e^2+2)\varepsilon^2

|z(t)-y(t)|\le(2e^2-1)\varepsilon

|z(t)-y(t)|\le(2e^2+1)\varepsilon

Explication

Les perturbations de l’équation et de la condition initiale donnent la majoration $|z(t)-y(t)|\le(2e^2+1)\varepsilon$ sur l’intervalle considéré. La borne dépend linéairement de $\varepsilon$ , et non de $\varepsilon^2$ comme dans une des propositions.

Answer

$$|z(t)-y(t)|\le(2e^2+1)\varepsilon$$

Question 16

16. Que déduit-on du choix $K=2e^2+1>0$ lorsque $\varepsilon$ tend vers zéro ?

La solution perturbée converge vers la solution exacte.

La solution exacte acquiert une nouvelle condition initiale.

La solution perturbée devient indépendante du temps.

La différence entre les deux solutions tend vers une constante positive.

Explication

Comme l’écart est majoré par $K\varepsilon$ avec $K=2e^2+1$ , il tend vers zéro lorsque $\varepsilon\to0$ . La perturbation disparaît donc dans la limite, plutôt que de produire une constante résiduelle.

Answer

La solution perturbée converge vers la solution exacte.

QCM : Problème de Cauchy — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pourquoi de nombreuses équations différentielles non linéaires sont-elles résolues numériquement ?

2. Quelle propriété montre que l'équation $m v'(t)=mg-k|v|v$ d'un projectile est non linéaire en $v$ ?

3. Qu'est-ce qui caractérise un problème à valeur initiale ?

4. Quelle formulation définit un problème de Cauchy sur $[a,b]$ ?

5. Quelle est la solution du problème $y'(t)=t y(t)$ , $y(0)=1$ sur $[0,1]$ ?

6. Quelle inégalité exprime la condition de Lipschitz de constante $L$ par rapport à $y$ pour une fonction $f(t,y)$ ?

7. Sur $D=\{(t,y):1\le t\le2,-3\le y\le4\}$ , quelle constante de Lipschitz convient pour $f(t,y)=t|y|$ par rapport à $y$ ?

8. Quelle condition caractérise la convexité d’un domaine $D\subset\mathbb{R}^2$ ?

9. Sur un domaine convexe, quelles hypothèses permettent de conclure que $f$ est lipschitzienne par rapport à $y$ avec une constante $L$ ?

10. Quelle conclusion garantit le théorème de Cauchy-Lipschitz lorsque $f$ est continue et lipschitzienne par rapport à $y$ sur le domaine considéré ?

11. Pour le problème $y'(t)=1+t\sin(ty)$ , $y(0)=0$ sur $[0,2]$ , pourquoi une solution unique est-elle garantie ?

12. À quelle condition un problème de Cauchy est-il dit bien posé ?

13. Si une solution perturbée vérifie $|\delta(t)|<\varepsilon$ et $|\varepsilon_0|<\varepsilon$ , quelle estimation peut-on obtenir sur $[a,b]$ ?

14. Quelle est la solution exacte du problème $y'(t)=y-t^2+1$ avec $y(0)=\frac12$ sur $[0,2]$ ?

15. Sous les hypothèses $|\delta|<\varepsilon$ et $|\varepsilon_0|<\varepsilon$ , quelle borne contrôle l’écart entre la solution perturbée et la solution exacte sur $[0,2]$ ?

16. Que déduit-on du choix $K=2e^2+1>0$ lorsque $\varepsilon$ tend vers zéro ?

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QCM : Problème de Cauchy — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pourquoi de nombreuses équations différentielles non linéaires sont-elles résolues numériquement ?

2. Quelle propriété montre que l'équation mv′(t)=mg−k∣v∣vm v'(t)=mg-k|v|vmv′(t)=mg−k∣v∣v d'un projectile est non linéaire en vvv ?

3. Qu'est-ce qui caractérise un problème à valeur initiale ?

4. Quelle formulation définit un problème de Cauchy sur [a,b][a,b][a,b] ?

5. Quelle est la solution du problème y′(t)=ty(t)y'(t)=t y(t)y′(t)=ty(t), y(0)=1y(0)=1y(0)=1 sur [0,1][0,1][0,1] ?

6. Quelle inégalité exprime la condition de Lipschitz de constante LLL par rapport à yyy pour une fonction f(t,y)f(t,y)f(t,y) ?

7. Sur D={(t,y):1≤t≤2,−3≤y≤4}D=\{(t,y):1\le t\le2,-3\le y\le4\}D={(t,y):1≤t≤2,−3≤y≤4}, quelle constante de Lipschitz convient pour f(t,y)=t∣y∣f(t,y)=t|y|f(t,y)=t∣y∣ par rapport à yyy ?

8. Quelle condition caractérise la convexité d’un domaine D⊂R2D\subset\mathbb{R}^2D⊂R2 ?

9. Sur un domaine convexe, quelles hypothèses permettent de conclure que fff est lipschitzienne par rapport à yyy avec une constante LLL ?

10. Quelle conclusion garantit le théorème de Cauchy-Lipschitz lorsque fff est continue et lipschitzienne par rapport à yyy sur le domaine considéré ?

11. Pour le problème y′(t)=1+tsin⁡(ty)y'(t)=1+t\sin(ty)y′(t)=1+tsin(ty), y(0)=0y(0)=0y(0)=0 sur [0,2][0,2][0,2], pourquoi une solution unique est-elle garantie ?

12. À quelle condition un problème de Cauchy est-il dit bien posé ?

13. Si une solution perturbée vérifie ∣δ(t)∣<ε|\delta(t)|<\varepsilon∣δ(t)∣<ε et ∣ε0∣<ε|\varepsilon_0|<\varepsilon∣ε0​∣<ε, quelle estimation peut-on obtenir sur [a,b][a,b][a,b] ?

14. Quelle est la solution exacte du problème y′(t)=y−t2+1y'(t)=y-t^2+1y′(t)=y−t2+1 avec y(0)=12y(0)=\frac12y(0)=21​ sur [0,2][0,2][0,2] ?

15. Sous les hypothèses ∣δ∣<ε|\delta|<\varepsilon∣δ∣<ε et ∣ε0∣<ε|\varepsilon_0|<\varepsilon∣ε0​∣<ε, quelle borne contrôle l’écart entre la solution perturbée et la solution exacte sur [0,2][0,2][0,2] ?

16. Que déduit-on du choix K=2e2+1>0K=2e^2+1>0K=2e2+1>0 lorsque ε\varepsilonε tend vers zéro ?

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2. Quelle propriété montre que l'équation $m v'(t)=mg-k|v|v$ d'un projectile est non linéaire en $v$ ?

4. Quelle formulation définit un problème de Cauchy sur $[a,b]$ ?

5. Quelle est la solution du problème $y'(t)=t y(t)$ , $y(0)=1$ sur $[0,1]$ ?

6. Quelle inégalité exprime la condition de Lipschitz de constante $L$ par rapport à $y$ pour une fonction $f(t,y)$ ?

7. Sur $D=\{(t,y):1\le t\le2,-3\le y\le4\}$ , quelle constante de Lipschitz convient pour $f(t,y)=t|y|$ par rapport à $y$ ?

8. Quelle condition caractérise la convexité d’un domaine $D\subset\mathbb{R}^2$ ?

9. Sur un domaine convexe, quelles hypothèses permettent de conclure que $f$ est lipschitzienne par rapport à $y$ avec une constante $L$ ?

10. Quelle conclusion garantit le théorème de Cauchy-Lipschitz lorsque $f$ est continue et lipschitzienne par rapport à $y$ sur le domaine considéré ?

11. Pour le problème $y'(t)=1+t\sin(ty)$ , $y(0)=0$ sur $[0,2]$ , pourquoi une solution unique est-elle garantie ?

13. Si une solution perturbée vérifie $|\delta(t)|<\varepsilon$ et $|\varepsilon_0|<\varepsilon$ , quelle estimation peut-on obtenir sur $[a,b]$ ?

14. Quelle est la solution exacte du problème $y'(t)=y-t^2+1$ avec $y(0)=\frac12$ sur $[0,2]$ ?

15. Sous les hypothèses $|\delta|<\varepsilon$ et $|\varepsilon_0|<\varepsilon$ , quelle borne contrôle l’écart entre la solution perturbée et la solution exacte sur $[0,2]$ ?

16. Que déduit-on du choix $K=2e^2+1>0$ lorsque $\varepsilon$ tend vers zéro ?