Problème de Cauchy

📋 Plan du Cours

1. Motivation et cadre initial
2. Définition du problème de Cauchy
3. Condition de Lipschitz
4. Convexité et critère différentiel
5. Théorème de Cauchy-Lipschitz
6. Problèmes bien posés
7. Exemple de stabilité quantitative

📖 1. Motivation et cadre initial

🔑 Notions clés & Définitions

• Problème à valeur initiale : Équation différentielle d'ordre 1, linéaire ou non linéaire, portant sur une fonction du temps et accompagnée d'une condition initiale $y(t_0)=x$.

★ À maîtriser

📌 Les équations différentielles linéaires à coefficients constants ou d'ordre peu élevé peuvent souvent être résolues analytiquement, tandis que de nombreuses équations différentielles non linéaires nécessitent une résolution numérique.

• La vitesse v(t) d'un projectile de masse m soumis à la pesanteur g et au frottement de l'air de coefficient k vérifie $m v'(t)=mg-k|v|v$ avec la condition initiale $v(0)=v_0$.

Compléments

• Les méthodes numériques calculent sur ordinateur une solution approchée d'un problème différentiel lorsque sa solution analytique ne peut pas être obtenue simplement.

💡 Astuce mémo

Non-linéarité → résolution numérique → solution approchée

📖 2. Définition du problème de Cauchy