Fiche de révision : Produit scalaire et applications

📋 Plan du Cours

1. Définition du produit scalaire
2. Produit scalaire des vecteurs colinéaires
3. Projection orthogonale et produit scalaire
4. Orthogonalité des vecteurs
5. Propriétés algébriques du produit scalaire
6. Produit scalaire et normes
7. Coordonnées dans une base orthonormée
8. Formule d’Al-Kashi
9. Médiane et cercle de diamètre

📖 1. Définition du produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$, noté $\vec u \cdot \vec v$, est le nombre réel défini par $\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u;\vec v)$.

📝 Points essentiels

📌 Le produit scalaire est positif si l’angle entre les vecteurs est aigu et négatif si cet angle est obtus.

📖 2. Produit scalaire des vecteurs colinéaires

📝 Points essentiels

📌 Deux vecteurs colinéaires non nuls de sens contraire ont pour produit scalaire l’opposé du produit de leurs normes : $\vec u \cdot \vec v = -\|\vec u\|\,\|\vec v\|$.

📌 Le produit scalaire d’un vecteur par lui-même est son carré scalaire, égal au carré de sa norme : $\vec u \cdot \vec u = \vec u^2 = \|\vec u\|^2$.

💡 Astuce mémo

Même sens : produit positif ; sens contraire : produit négatif.

📖 3. Projection orthogonale et produit scalaire

📝 Points essentiels

📌 Si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$.

📌 Si l’angle $\widehat{BAC}$ est aigu, le produit scalaire vaut $AB \times AH$, et s’il est obtus, il vaut $-AB \times AH$.

📖 4. Orthogonalité des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs orthogonaux : Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque les droites qui les portent sont perpendiculaires ; par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

📝 Points essentiels

📌 Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire nul ↔ vecteurs orthogonaux

📖 5. Propriétés algébriques du produit scalaire

📝 Points essentiels

📌 Le produit scalaire est symétrique : échanger les deux vecteurs ne change pas sa valeur.

📌 Le produit scalaire est bilinéaire : il se distribue sur l’addition de chaque facteur et un facteur réel peut être sorti du produit.

📖 6. Produit scalaire et normes

📝 Points essentiels

📐 Formule - $\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$, $\|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2-2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$ et $(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2$.

📐 Formule - Le produit scalaire se déduit des normes par $\vec u\cdot\vec v=\frac12\left(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\right)$ ou par $\vec u\cdot\vec v=\frac12\left(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\right)$.

📖 7. Coordonnées dans une base orthonormée

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans une base orthonormée, si u a pour coordonnées (x ; y) et v a pour coordonnées (x′ ; y′), alors $\vec u\cdot\vec v=xx′+yy′$.

• Dans un repère orthonormé, les coordonnées de AB sont (xB − xA ; yB − yA), soit les coordonnées de l’extrémité moins celles de l’origine.

💡 Astuce mémo

Deux coordonnées se multiplient terme à terme puis s’additionnent.

📖 8. Formule d’Al-Kashi

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans un triangle ABC quelconque, $AB^2=BC^2+AC^2-2\,BC\,AC\cos(\widehat{ACB})$ ; de même, $b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\widehat B)$ et $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat A)$.

📖 9. Médiane et cercle de diamètre

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si I est le milieu de [AB] dans le triangle ABC, alors $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=CI^2-\frac14AB^2$.

📌 Pour trois points A, B et M, le produit scalaire MA·MB est nul si et seulement si M appartient au cercle de diamètre [AB].

💡 Astuce mémo

Produit scalaire nul → angle droit → cercle de diamètre [AB]