QCM : Produit scalaire et applications (17 questions)

Question 1

1. Deux vecteurs non nuls ont pour normes $5$ et $4$ , et l’angle entre eux mesure $60°$ . Quelle expression donne leur produit scalaire ?

5\times4

(5+4)\times\cos(60°)

5\times4\times\sin(60°)

5\times4\times\cos(60°)

Explication

Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est le produit de leurs normes multiplié par le cosinus de l’angle qui les sépare. L’expression $5\times4$ omet le cosinus, $(5+4)\times\cos(60°)$ additionne les normes et $5\times4\times\sin(60°)$ emploie le sinus.

Answer

$$5\times4\times\cos(60°)$$

Question 2

2. Deux vecteurs non nuls forment un angle de $120°$ . Quel est le signe de leur produit scalaire ?

Positif

Impossible à déterminer sans connaître les normes

Nul

Négatif

Explication

Un angle de $120°$ est obtus, donc le produit scalaire est négatif. Un produit positif correspond à un angle aigu, un produit nul à un angle droit, et les normes ne changent pas le signe déterminé par l’angle.

Answer

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$$

Answer

$$-AB \times AH$$

Answer

$$\vec v$$ est orthogonal à $$\vec u$$

Answer

Les vecteurs $$\vec u$$ et $$\vec v$$ sont orthogonaux

Answer

$$\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$$

Answer

(5 ; −5)

Answer

M appartient au cercle de diamètre [AB]

Question 3

3. Deux vecteurs colinéaires non nuls ont des sens contraires et des normes égales à $7$ et $3$ . Quel est leur produit scalaire ?

-21

21

10

-4

Explication

Pour deux vecteurs colinéaires de sens contraire, le produit scalaire est l’opposé du produit des normes : $-(7\times3)=-21$ . $21$ oublie le signe négatif, tandis que $-4$ et $10$ résultent d’opérations sur les normes plutôt que de leur produit.

Question 4

4. Un vecteur $\vec u$ a une norme égale à $6$ . Quelle est la valeur de son produit scalaire par lui-même ?

-36

36

6

12

Explication

Le produit scalaire d’un vecteur par lui-même est le carré de sa norme : $\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2=6^2=36$ . $6$ confond le produit avec la norme, $12$ double celle-ci et $-36$ ajoute un signe négatif injustifié.

Question 5

5. Dans une configuration où H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), quelle égalité permet de remplacer le produit scalaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ?

\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AH}

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}

\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AH}

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HC}

Explication

La projection orthogonale de C sur (AB) permet de remplacer $\overrightarrow{AC}$ par $\overrightarrow{AH}$ dans le produit scalaire avec $\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{HC}$ est perpendiculaire à la droite (AB), tandis que les autres choix modifient un vecteur du produit.

Question 6

6. La projection H de C sur la droite (AB) est située de sorte que l’angle $\widehat{BAC}$ est obtus. Quelle expression donne alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ ?

AB \times AH

-AH

-AB \times AH

-AB \times AC

Explication

Pour un angle obtus, le produit scalaire est l’opposé du produit des longueurs $AB$ et $AH$ . Le signe positif correspond au cas aigu, et remplacer $AH$ par $AC$ ignore la projection orthogonale.

Question 7

7. Un vecteur $\vec u$ est non nul et un vecteur $\vec v$ est nul. Quelle relation d’orthogonalité s’applique par convention ?

\vec v

n’est ni orthogonal ni parallèle à

\vec u

\vec v

est parallèle à

\vec u

\vec v

est orthogonal à

\vec u

seulement si leurs droites sont perpendiculaires

\vec v

est orthogonal à

\vec u

Explication

Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur, y compris à un vecteur non nul. La condition de droites perpendiculaires décrit le cas de vecteurs non nuls; elle ne remplace pas cette convention.

Question 8

8. Dans un calcul, on obtient $\vec u \cdot \vec v=0$ pour deux vecteurs du plan. Que peut-on conclure ?

Les vecteurs

\vec u

et

\vec v

sont orthogonaux

Les vecteurs

\vec u

et

\vec v

sont parallèles

Les vecteurs

\vec u

et

\vec v

ont la même norme

Les vecteurs

\vec u

et

\vec v

sont égaux

Explication

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. La nullité ne signifie ni parallélisme, ni égalité des vecteurs, ni égalité de leurs normes.

Question 9

9. Pour deux vecteurs $\vec a$ et $\vec b$ , quelle égalité exprime la symétrie du produit scalaire ?

\vec a\cdot\vec b=-\vec b\cdot\vec a

\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a

\vec a\cdot\vec b=\|\vec a\|\,\|\vec b\|

\vec a\cdot\vec b=\vec a+\vec b

Explication

La symétrie signifie que l’échange des deux vecteurs ne change pas le produit scalaire. L’égalité avec un signe moins confond symétrie et antisymétrie, tandis que le produit des normes omet l’effet de l’angle.

Question 10

10. On sait que $\vec p\cdot\vec q=4$ . Quelle est la valeur de $(2\vec p+\vec p)\cdot\vec q$ , en utilisant la bilinéarité ?

12

4

8

6

Explication

La bilinéarité donne $(2\vec p+\vec p)\cdot\vec q=2(\vec p\cdot\vec q)+\vec p\cdot\vec q=2\times4+4=12$ . La valeur 8 oublie le terme $\vec p\cdot\vec q$ , et 4 ne tient pas compte des coefficients du premier facteur.

Question 11

11. Pour deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ , on a $\|\vec u\|=3$ , $\|\vec v\|=4$ et $\vec u\cdot\vec v=2$ . Quelle est la valeur de $\|\vec u+\vec v\|^2$ ?

17

25

29

21

Explication

Question 12

12. On connaît $\|\vec r\|=5$ , $\|\vec s\|=2$ et $\|\vec r-\vec s\|=5$ . Quelle est la valeur de $\vec r\cdot\vec s$ ?

4

12

2

-2

Explication

Question 13

13. Dans une base orthonormée, deux vecteurs ont pour coordonnées $\vec u=(3\,;\,-2)$ et $\vec v=(4\,;\,5)$ . Quel est leur produit scalaire ?

−1

2

10

−2

Explication

Dans une base orthonormée, on calcule $\vec u\cdot\vec v=xx′+yy′$ , donc $3\times4+(-2)\times5=12-10=2$ . La somme des coordonnées donne 10, la soustraction des produits donne 22 et le produit des sommes donne 14.

Question 14

14. Dans un repère orthonormé, les points $A(−3\,;\,4)$ et $B(2\,;\,−1)$ sont donnés. Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?

(5 ; 5)

(5 ; −5)

(−1 ; 3)

(−5 ; 5)

Explication

Les coordonnées du vecteur vont de l’origine A à l’extrémité B : $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)=(2-(-3)\,;\,-1-4)=(5\,;\,-5)$ . Le couple (−5 ; 5) inverse l’ordre de soustraction, tandis que les autres couples résultent d’opérations incorrectes sur les coordonnées.

Question 15

15. Dans un triangle $ABC$ , on connaît $BC=5$ , $AC=7$ et $\widehat{ACB}=60^\circ$ . Quelle valeur obtient-on pour $AB^2$ avec la formule d’Al-Kashi ?

74

109

59

39

Explication

La formule donne $AB^2=BC^2+AC^2-2\times BC\times AC\times\cos(\widehat{ACB})$ , soit $25+49-70\times\frac12=39$ . La valeur 74 omet la correction, 109 l’ajoute, et 59 correspond à l’emploi erroné de $\cos(60^\circ)$ comme si sa valeur était $\frac{3}{14}$ .

Question 16

16. Dans un triangle ABC, I est le milieu de [AB], CI = 5 et AB = 6. Quelle est la valeur de $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$ ?

16

-16

22

34

Explication

La formule donne $CI^2-\frac14AB^2=25-9=16$ . La réponse 34 oublie le facteur un quart, -16 inverse la soustraction et 22 utilise AB au lieu de son carré.

Question 17

17. Pour des points A, B et M, on constate que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ . Quelle conclusion géométrique peut-on en tirer ?

M appartient au cercle de centre A passant par B

M appartient au cercle de diamètre [AB]

Les vecteurs MA et MB sont égaux

M est le milieu de [AB]

Explication

Le produit scalaire nul équivaut à l’appartenance de M au cercle de diamètre [AB]. Le cercle centré en A impose une autre condition, l’égalité des vecteurs confond orthogonalité et égalité, et le milieu est une conclusion trop restrictive.

QCM : Produit scalaire et applications (17 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Deux vecteurs non nuls ont pour normes $5$ et $4$ , et l’angle entre eux mesure $60°$ . Quelle expression donne leur produit scalaire ?

2. Deux vecteurs non nuls forment un angle de $120°$ . Quel est le signe de leur produit scalaire ?

3. Deux vecteurs colinéaires non nuls ont des sens contraires et des normes égales à $7$ et $3$ . Quel est leur produit scalaire ?

4. Un vecteur $\vec u$ a une norme égale à $6$ . Quelle est la valeur de son produit scalaire par lui-même ?

5. Dans une configuration où H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), quelle égalité permet de remplacer le produit scalaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ?

6. La projection H de C sur la droite (AB) est située de sorte que l’angle $\widehat{BAC}$ est obtus. Quelle expression donne alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ ?

7. Un vecteur $\vec u$ est non nul et un vecteur $\vec v$ est nul. Quelle relation d’orthogonalité s’applique par convention ?

8. Dans un calcul, on obtient $\vec u \cdot \vec v=0$ pour deux vecteurs du plan. Que peut-on conclure ?

9. Pour deux vecteurs $\vec a$ et $\vec b$ , quelle égalité exprime la symétrie du produit scalaire ?

10. On sait que $\vec p\cdot\vec q=4$ . Quelle est la valeur de $(2\vec p+\vec p)\cdot\vec q$ , en utilisant la bilinéarité ?

11. Pour deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ , on a $\|\vec u\|=3$ , $\|\vec v\|=4$ et $\vec u\cdot\vec v=2$ . Quelle est la valeur de $\|\vec u+\vec v\|^2$ ?

12. On connaît $\|\vec r\|=5$ , $\|\vec s\|=2$ et $\|\vec r-\vec s\|=5$ . Quelle est la valeur de $\vec r\cdot\vec s$ ?

13. Dans une base orthonormée, deux vecteurs ont pour coordonnées $\vec u=(3\,;\,-2)$ et $\vec v=(4\,;\,5)$ . Quel est leur produit scalaire ?

14. Dans un repère orthonormé, les points $A(−3\,;\,4)$ et $B(2\,;\,−1)$ sont donnés. Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?

15. Dans un triangle $ABC$ , on connaît $BC=5$ , $AC=7$ et $\widehat{ACB}=60^\circ$ . Quelle valeur obtient-on pour $AB^2$ avec la formule d’Al-Kashi ?

16. Dans un triangle ABC, I est le milieu de [AB], CI = 5 et AB = 6. Quelle est la valeur de $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$ ?

17. Pour des points A, B et M, on constate que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ . Quelle conclusion géométrique peut-on en tirer ?

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QCM : Produit scalaire et applications (17 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Deux vecteurs non nuls ont pour normes 555 et 444, et l’angle entre eux mesure 60°60°60°. Quelle expression donne leur produit scalaire ?

2. Deux vecteurs non nuls forment un angle de 120°120°120°. Quel est le signe de leur produit scalaire ?

3. Deux vecteurs colinéaires non nuls ont des sens contraires et des normes égales à 777 et 333. Quel est leur produit scalaire ?

4. Un vecteur u⃗\vec uu a une norme égale à 666. Quelle est la valeur de son produit scalaire par lui-même ?

5. Dans une configuration où H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), quelle égalité permet de remplacer le produit scalaire de AB→\overrightarrow{AB}AB et AC→\overrightarrow{AC}AC ?

6. La projection H de C sur la droite (AB) est située de sorte que l’angle BAC^\widehat{BAC}BAC est obtus. Quelle expression donne alors AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}AB⋅AC ?

7. Un vecteur u⃗\vec uu est non nul et un vecteur v⃗\vec vv est nul. Quelle relation d’orthogonalité s’applique par convention ?

8. Dans un calcul, on obtient u⃗⋅v⃗=0\vec u \cdot \vec v=0u⋅v=0 pour deux vecteurs du plan. Que peut-on conclure ?

9. Pour deux vecteurs a⃗\vec aa et b⃗\vec bb, quelle égalité exprime la symétrie du produit scalaire ?

10. On sait que p⃗⋅q⃗=4\vec p\cdot\vec q=4p​⋅q​=4. Quelle est la valeur de (2p⃗+p⃗)⋅q⃗(2\vec p+\vec p)\cdot\vec q(2p​+p​)⋅q​, en utilisant la bilinéarité ?

11. Pour deux vecteurs u⃗\vec uu et v⃗\vec vv, on a ∥u⃗∥=3\|\vec u\|=3∥u∥=3, ∥v⃗∥=4\|\vec v\|=4∥v∥=4 et u⃗⋅v⃗=2\vec u\cdot\vec v=2u⋅v=2. Quelle est la valeur de ∥u⃗+v⃗∥2\|\vec u+\vec v\|^2∥u+v∥2 ?

12. On connaît ∥r⃗∥=5\|\vec r\|=5∥r∥=5, ∥s⃗∥=2\|\vec s\|=2∥s∥=2 et ∥r⃗−s⃗∥=5\|\vec r-\vec s\|=5∥r−s∥=5. Quelle est la valeur de r⃗⋅s⃗\vec r\cdot\vec sr⋅s ?

13. Dans une base orthonormée, deux vecteurs ont pour coordonnées u⃗=(3 ; −2)\vec u=(3\,;\,-2)u=(3;−2) et v⃗=(4 ; 5)\vec v=(4\,;\,5)v=(4;5). Quel est leur produit scalaire ?

14. Dans un repère orthonormé, les points A(−3 ; 4)A(−3\,;\,4)A(−3;4) et B(2 ; −1)B(2\,;\,−1)B(2;−1) sont donnés. Quelles sont les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB}AB ?

15. Dans un triangle ABCABCABC, on connaît BC=5BC=5BC=5, AC=7AC=7AC=7 et ACB^=60∘\widehat{ACB}=60^\circACB=60∘. Quelle valeur obtient-on pour AB2AB^2AB2 avec la formule d’Al-Kashi ?

16. Dans un triangle ABC, I est le milieu de [AB], CI = 5 et AB = 6. Quelle est la valeur de CA→⋅CB→\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}CA⋅CB ?

17. Pour des points A, B et M, on constate que MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0MA⋅MB=0. Quelle conclusion géométrique peut-on en tirer ?

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1. Deux vecteurs non nuls ont pour normes $5$ et $4$ , et l’angle entre eux mesure $60°$ . Quelle expression donne leur produit scalaire ?

2. Deux vecteurs non nuls forment un angle de $120°$ . Quel est le signe de leur produit scalaire ?

3. Deux vecteurs colinéaires non nuls ont des sens contraires et des normes égales à $7$ et $3$ . Quel est leur produit scalaire ?

4. Un vecteur $\vec u$ a une norme égale à $6$ . Quelle est la valeur de son produit scalaire par lui-même ?

5. Dans une configuration où H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), quelle égalité permet de remplacer le produit scalaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ?

6. La projection H de C sur la droite (AB) est située de sorte que l’angle $\widehat{BAC}$ est obtus. Quelle expression donne alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ ?

7. Un vecteur $\vec u$ est non nul et un vecteur $\vec v$ est nul. Quelle relation d’orthogonalité s’applique par convention ?

8. Dans un calcul, on obtient $\vec u \cdot \vec v=0$ pour deux vecteurs du plan. Que peut-on conclure ?

9. Pour deux vecteurs $\vec a$ et $\vec b$ , quelle égalité exprime la symétrie du produit scalaire ?

10. On sait que $\vec p\cdot\vec q=4$ . Quelle est la valeur de $(2\vec p+\vec p)\cdot\vec q$ , en utilisant la bilinéarité ?

11. Pour deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ , on a $\|\vec u\|=3$ , $\|\vec v\|=4$ et $\vec u\cdot\vec v=2$ . Quelle est la valeur de $\|\vec u+\vec v\|^2$ ?

12. On connaît $\|\vec r\|=5$ , $\|\vec s\|=2$ et $\|\vec r-\vec s\|=5$ . Quelle est la valeur de $\vec r\cdot\vec s$ ?

13. Dans une base orthonormée, deux vecteurs ont pour coordonnées $\vec u=(3\,;\,-2)$ et $\vec v=(4\,;\,5)$ . Quel est leur produit scalaire ?

14. Dans un repère orthonormé, les points $A(−3\,;\,4)$ et $B(2\,;\,−1)$ sont donnés. Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?

15. Dans un triangle $ABC$ , on connaît $BC=5$ , $AC=7$ et $\widehat{ACB}=60^\circ$ . Quelle valeur obtient-on pour $AB^2$ avec la formule d’Al-Kashi ?

16. Dans un triangle ABC, I est le milieu de [AB], CI = 5 et AB = 6. Quelle est la valeur de $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$ ?

17. Pour des points A, B et M, on constate que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ . Quelle conclusion géométrique peut-on en tirer ?