Flashcards : Produit scalaire et applications (26 cartes)

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1Question

Comment définit-on le produit scalaire de deux vecteurs non nuls ?

Réponse

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡(u⃗;v⃗)\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u;\vec v)

2Question

Quand le produit scalaire de deux vecteurs est-il positif ?

Réponse

Lorsque l’angle entre les vecteurs est aigu.

3Question

Quand le produit scalaire de deux vecteurs est-il négatif ?

Réponse

Lorsque l’angle entre les vecteurs est obtus.

4Question

Quel produit scalaire obtient-on pour deux vecteurs colinéaires non nuls de sens contraire ?

Réponse

L’opposé du produit de leurs normes.

5Question

À quoi le produit scalaire d’un vecteur par lui-même est-il égal ?

Réponse

Au carré de sa norme.

6Question

Si H est le projeté orthogonal de C sur (AB), à quoi est égal AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} ?

Réponse

AB→⋅AH→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}.

7Question

Si l’angle BAC^\widehat{BAC} est aigu, quelle expression donne le produit scalaire ?

Réponse

AB×AHAB\times AH.

8Question

Si l’angle BAC^\widehat{BAC} est obtus, quelle expression donne le produit scalaire ?

Réponse

−AB×AH-AB\times AH.

9Question

Quand deux vecteurs non nuls sont-ils orthogonaux ?

Réponse

Lorsque leurs droites support sont perpendiculaires.

10Question

À quels vecteurs le vecteur nul est-il orthogonal ?

Réponse

À tout vecteur.

11Question

Quelle condition caractérise l’orthogonalité par le produit scalaire ?

Réponse

Le produit scalaire des deux vecteurs est nul.

12Question

Quelle propriété décrit l’échange des deux vecteurs dans un produit scalaire ?

Réponse

La symétrie.

13Question

Comment le produit scalaire se comporte-t-il avec l’addition dans chaque facteur ?

Réponse

Il est distributif dans chaque facteur.

14Question

Comment un facteur réel agit-il sur un produit scalaire ?

Réponse

Il peut être sorti du produit.

15Question

Quelle est l’identité de la norme au carré de u⃗+v⃗\vec u+\vec v ?

Réponse

∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2

16Question

Quelle est l’identité de la norme au carré de u⃗−v⃗\vec u-\vec v ?

Réponse

∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2−2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2-2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2

17Question

À quoi est égal (u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v) ?

Réponse

∥u⃗∥2−∥v⃗∥2\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2

18Question

Comment exprimer u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v avec la norme de u⃗+v⃗\vec u+\vec v ?

Réponse

12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)\frac12\left(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\right)

19Question

Comment exprimer u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v avec la norme de u⃗−v⃗\vec u-\vec v ?

Réponse

12(∥u⃗∥2+∥v⃗∥2−∥u⃗−v⃗∥2)\frac12\left(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\right)

20Question

Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de coordonnées $(x;y)$ et $(x';y')$ dans une base orthonormée ?

Réponse

xx′+yy′xx'+yy'

21Question

Quelles sont les coordonnées du vecteur AB→\overrightarrow{AB} dans un repère orthonormé ?

Réponse

(xB−xA ; yB−yA)(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)

22Question

Quelle formule relie les côtés du triangle ABC à l’angle ACB ?

Réponse

AB2=BC2+AC2−2 BC ACcos⁡(ACB^)AB^2=BC^2+AC^2-2\,BC\,AC\cos(\widehat{ACB})

23Question

Quelle formule exprime b2b^2 en fonction de aa, cc et B^\widehat B ?

Réponse

b2=a2+c2−2accos⁡(B^)b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\widehat B)

24Question

Quelle formule exprime a2a^2 en fonction de bb, cc et A^\widehat A ?

Réponse

a2=b2+c2−2bccos⁡(A^)a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat A)

25Question

Si I est le milieu de [AB] dans le triangle ABC, quelle est la formule de CA→⋅CB→\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB} ?

Réponse

CI2−14AB2CI^2-\frac14AB^2

26Question

Pour trois points A, B et M, quand le produit scalaire MA→⋅MB→\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} est-il nul ?

Réponse

Lorsque M appartient au cercle de diamètre [AB].

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 17 questions sur Produit scalaire et applications.

1. Deux vecteurs non nuls ont pour normes 55 et 44, et l’angle entre eux mesure 60°60°. Quelle expression donne leur produit scalaire ?

2. Deux vecteurs non nuls forment un angle de 120°120°. Quel est le signe de leur produit scalaire ?

Faire le QCM →

Consultez la fiche

Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Produit scalaire et applications.

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