Fiche de révision : Proportionnalité et théorème de Pythagore

📋 Plan du Cours

1. Représentation et coefficient de proportionnalité
2. Méthodes de proportionnalité
3. Calculs de pourcentages
4. Réciproque, contraposée et racines carrées du théorème de Pythagore
5. Ratios et partage proportionnel
6. Calculer l’hypoténuse ou un côté de l’angle droit
7. Vocabulaire et fréquences statistiques
8. Classer les données statistiques
9. Moyennes et médiane
10. Étendue et représentations graphiques
11. Agrandissements et réductions
12. Puissances et notations scientifiques

📖 1. Représentation et coefficient de proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de proportionnalité : Nombre par lequel on multiplie chaque valeur d’une ligne pour obtenir la valeur correspondante de l’autre ligne.

★ À maîtriser

• La représentation graphique d’une situation de proportionnalité forme des points alignés avec l’origine du repère, ou une droite passant par l’origine.

Compléments

📐 Formule - Le périmètre $p$ d’un carré de côté $a$ vérifie $p=4a$.

📐 Formule - Pour passer d’un nombre de départ à un nombre d’arrivée, le coefficient multiplicateur est $\frac{\text{nombre d’arrivée}}{\text{nombre de départ}}$.

📖 2. Méthodes de proportionnalité

★ À maîtriser

• Un tableau est un tableau de proportionnalité si chaque valeur d’une ligne s’obtient en multipliant la valeur correspondante de l’autre ligne par un même nombre.

• Pour vérifier qu’un tableau est proportionnel, on compare les rapports des valeurs correspondantes de chaque colonne ; ils doivent être égaux.

📌 Deux fractions $\frac{A}{B}$ et $\frac{C}{D}$ sont égales si et seulement si leurs produits en croix sont égaux : $A\times D=B\times C$.

Compléments

• Dans le tableau macarons-prix, les rapports 8,4/6, 14/10 et 21/15 valent tous 1,4, donc le tableau est proportionnel.

• Dans le tableau durée-prix, 17/2 vaut 8,5 tandis que 38/5 et 76/10 valent 7,6, donc le tableau n’est pas proportionnel.

• Dans une situation proportionnelle, on peut multiplier ou diviser les valeurs correspondantes par le même facteur, additionner les valeurs correspondantes, ou revenir à l’unité puis multiplier par la valeur recherchée.

• Avec 5 L de peinture pour 12 m², 17 L permettent de peindre 40,8 m², car $x=\frac{12\times17}{5}=40{,}8$.

📖 3. Calculs de pourcentages

★ À maîtriser

📌 Prendre $t\%$ d’une quantité revient à multiplier cette quantité par $\frac{t}{100}$.

• Pour calculer quel pourcentage une partie représente dans un tout, on exprime la proportion avec un dénominateur égal à 100.

Compléments

• Prendre 72 % de 125 g donne 90 g, car $\frac{72}{100}\times125=90$.

• Si 7 élèves sur 28 sont gauchers, ils représentent 25 % des élèves, car $\frac{7}{28}=0{,}25=\frac{25}{100}$.

📖 4. Réciproque, contraposée et racines carrées du théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif dont le carré est a, noté $\sqrt{a}$.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour déterminer si un triangle aux trois côtés connus est rectangle :
  1. Calculer le carré du plus grand côté.
  2. Calculer la somme des carrés des deux autres côtés.
  3. Comparer les résultats obtenus.
  4. Conclure.

📌 Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle ; c’est la réciproque du théorème de Pythagore.

Compléments

• Dans le triangle MOP, 53² = 2809 et 45² + 28² = 2809 ; comme MP est le plus grand côté, le triangle MOP est rectangle en O par la réciproque de Pythagore.

• Dans le triangle JKL, 30² = 900 tandis que 17² + 21² = 730 ; comme JL est le plus grand côté, le triangle JKL n’est pas rectangle.

• Pour tout nombre positif a, $\sqrt{a}\geq 0$ et $(\sqrt{a})^2=a$.

• Les racines carrées des carrés des entiers de 0 à 15 sont respectivement les entiers de 0 à 15 ; par exemple, $\sqrt{144}=12$ et $\sqrt{225}=15$.

📐 Formule - Pour un triangle ABC rectangle en A, $AB^2+AC^2=BC^2$.

💡 Astuce mémo

Égalité vérifiée : triangle rectangle ; égalité non vérifiée : triangle non rectangle.

📖 5. Ratios et partage proportionnel

🔑 Notions clés & Définitions

• Ratio : Deux nombres positifs a et b sont dans le ratio c : d lorsque $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, ce qui s’écrit aussi $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$.

★ À maîtriser

• Pour partager un total selon un ratio, on divise le total par la somme des termes du ratio, puis on multiplie le résultat par chaque terme.

📌 Si deux grandeurs sont dans un ratio, elles sont proportionnelles entre elles.

Compléments

• Dans un partage au ratio 2 : 3, les deux parts représentent respectivement 2/5 et 3/5 du total.

• Pour 350 pièces partagées au ratio 3 : 4, la valeur d’une part est 50, le pirate reçoit 150 pièces et le capitaine 200 pièces.

• Pour 80 mL de vinaigrette au ratio huile : vinaigre de 3 : 1, il faut 60 mL d’huile et 20 mL de vinaigre.

📖 6. Calculer l’hypoténuse ou un côté de l’angle droit

★ À maîtriser

• Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle lorsque les longueurs des deux autres côtés sont connues.

• Pour calculer l’hypoténuse, on additionne les carrés des deux côtés de l’angle droit, puis on prend la racine carrée du résultat.

• Dans un triangle GHI rectangle en H, avec HI = 4 cm et GI = 5 cm, le théorème de Pythagore donne GH² = GI² − HI² = 25 − 16 = 9, donc GH = 3 cm.

Compléments

• L’application du théorème de Pythagore fait intervenir les carrés des longueurs.

• Dans le triangle DEF rectangle en E, avec ED = 6 cm et EF = 8 cm, on obtient DF² = 6² + 8² = 100, donc DF = 10 cm.

💡 Astuce mémo

L’hypoténuse additionne les carrés ; le côté de l’angle droit les soustrait.

📖 7. Vocabulaire et fréquences statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Effectif : Nombre de fois où cette donnée apparaît dans la liste.
• Fréquence : Quotient de son effectif par l’effectif total.

📝 Points essentiels

• Une fréquence est comprise entre 0 et 1 et peut s’exprimer sous forme fractionnaire, décimale ou en pourcentage.

📖 8. Classer les données statistiques

★ À maîtriser

• Pour présenter une série statistique, on peut ranger les données par ordre croissant et les regrouper dans un ou plusieurs tableaux d’effectifs.

Compléments

• Les données numériques nombreuses peuvent être regroupées en classes afin de faciliter la présentation des effectifs.

📖 9. Moyennes et médiane

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne : Somme de ses données divisée par l’effectif total.
• Médiane : Lorsque les valeurs sont rangées par ordre croissant, la médiane M est un nombre tel qu’au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à M et au moins la moitié sont supérieures ou égales à M.

★ À maîtriser

• Pour calculer une moyenne pondérée, on additionne les produits de chaque valeur par son effectif, puis on divise cette somme par l’effectif total.

Compléments

• Lorsque la série comporte un nombre pair de données, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.

📖 10. Étendue et représentations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Étendue : Différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur.

📝 Points essentiels

📐 Formule - L’étendue vérifie $E = V_{\text{Max}} - V_{\text{Min}}$.

• Les séries statistiques peuvent être représentées par des diagrammes en bâtons verticaux ou horizontaux et par des histogrammes.

📖 11. Agrandissements et réductions

🔑 Notions clés & Définitions

• Agrandissement ou réduction : Construire une figure de même forme en multipliant les longueurs de la figure initiale par un nombre k strictement positif.

★ À maîtriser

📌 Si k > 1, la figure subit un agrandissement ; si 0 < k < 1, elle subit une réduction.

📌 Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³.

Compléments

• Dans un agrandissement ou une réduction, les mesures des angles sont conservées.

💡 Astuce mémo

Longueurs × k, aires × k², volumes × k³.

📖 12. Puissances et notations scientifiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Pour un nombre a et un entier positif non nul n, aⁿ désigne le produit de n facteurs égaux à a ; a est la base et n l’exposant.
• Écriture scientifique : L’écriture scientifique d’un nombre décimal est son unique écriture sous la forme a × 10ⁿ où a possède un seul chiffre non nul avant la virgule.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les règles sur les puissances sont $a^n \times a^p = a^{n+p}$, $(a^n)^p = a^{n \times p}$ et $\frac{a^n}{a^p} = a^{n-p}$.

• Pour calculer une expression numérique sans parenthèses, on effectue d’abord les puissances, ensuite les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions.

Compléments

• Les cas particuliers indiqués sont a⁰ = 1 et a¹ = a ; a² se lit « a au carré » et a³ « a au cube ».

• Chaque position d’un chiffre dans un nombre décimal correspond à une puissance de 10, des puissances positives pour les rangs avant la virgule et des puissances négatives pour ceux après la virgule.

• La puissance de 10 de l’écriture scientifique donne l’ordre de grandeur du nombre et permet de comparer des nombres.