Fiche de révision : Arithmétique et nombres décimaux

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres usuels
2. Multiples et diviseurs
3. Nombres premiers et décomposition
4. Nombres premiers entre eux
5. Critères de divisibilité
6. Troncature et valeurs approchées
7. Arrondis des nombres décimaux

📖 1. Ensembles de nombres usuels

🔑 Notions clés & Définitions

• Entier naturel : Nombre entier positif ou nul, et l’ensemble des entiers naturels se note ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}.
• Nombre décimal : Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 ; son écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres après la virgule.
• Entier relatif : Nombre entier positif, nul ou négatif, et l’ensemble des entiers relatifs se note ℤ = {… ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}.

📝 Points essentiels

📌 L’ensemble des entiers naturels est inclus dans l’ensemble des entiers relatifs.

• Le nombre 6 est un entier naturel, un entier relatif et un nombre décimal, car il peut s’écrire 60/10.

📖 2. Multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Pour deux entiers naturels a et b, si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, alors a est un multiple de b.
• Diviseur : Pour deux entiers naturels a et b, si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, alors b est un diviseur de a et b divise a.

📝 Points essentiels

• Comme 28 = 7 × 4, 28 est un multiple de 7 et de 4, et 7 et 4 sont des diviseurs de 28.

📖 3. Nombres premiers et décomposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier naturel qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

• Pour décomposer un entier en produit de nombres premiers, on le divise successivement par des facteurs premiers jusqu’à obtenir uniquement des facteurs premiers.

Compléments

• Il existe une infinité de nombres premiers.

• Les nombres premiers inférieurs à 100 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

• Tous les nombres premiers sont impairs à l’exception de 2.

• La décomposition de 105 en facteurs premiers est 105 = 5 × 7 × 3.

📖 4. Nombres premiers entre eux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres premiers entre eux : Deux nombres qui n’admettent aucun diviseur commun à l’exception de 1.

📝 Points essentiels

• 15 et 28 sont premiers entre eux, car leur seul diviseur commun est 1.

• Deux nombres premiers sont toujours premiers entre eux.

• Deux nombres divisibles par 3 ne sont pas nécessairement premiers entre eux : 6 et 3 sont divisibles par 3 et ont aussi 3 comme diviseur commun.

📖 5. Critères de divisibilité

★ À maîtriser

• Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

• Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

• Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.

Compléments

📌 Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0.

📖 6. Troncature et valeurs approchées

🔑 Notions clés & Définitions

• Troncature : Couper le nombre à un rang et supprimer les chiffres situés à droite de la coupure.
• Valeur approchée par défaut : Troncature d’un nombre décimal au rang demandé.
• Valeur approchée par excès : Nombre immédiatement supérieur à la troncature d’un nombre décimal au rang demandé.

📝 Points essentiels

• La troncature de 7,4698 au dixième est 7,4, au centième est 7,46 et au millième est 7,469.

💡 Astuce mémo

Par défaut, on coupe ; par excès, on monte au nombre supérieur.

📖 7. Arrondis des nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Arrondi : Valeur approchée, par défaut ou par excès, qui est la plus proche du nombre au rang demandé.

★ À maîtriser

• Pour arrondir un nombre à un rang, on examine sa troncature au rang suivant : si son dernier chiffre est 0, 1, 2, 3 ou 4, on prend la valeur par défaut ; s’il est 5, 6, 7, 8 ou 9, on prend la valeur par excès.

Compléments

• L’arrondi au centième de 3,14159265 est 3,14, car la troncature au millième est 3,141 et se termine par 1.

• L’arrondi au millième de 3,14159265 est 3,142, car la troncature au dix-millième est 3,1415 et se termine par 5.

💡 Astuce mémo

Troncature au rang suivant, puis chiffre 0–4 : défaut ; 5–9 : excès.