QCM : Arithmétique et nombres décimaux (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une liste contient les nombres entiers positifs ou nuls, sans nombres négatifs ni fractions. À quel ensemble appartient-elle ?

À l’ensemble des nombres décimaux
À l’ensemble des entiers strictement positifs
À l’ensemble des entiers naturels ℕ
À l’ensemble des entiers relatifs ℤ

À l’ensemble des entiers naturels ℕ

Explication

Les entiers naturels sont les entiers positifs ou nuls, et leur ensemble se note ℕ. ℤ comprend aussi les entiers négatifs, tandis que les entiers strictement positifs excluent zéro.

2. Parmi les nombres suivants, lequel est décimal au sens où son écriture comporte un nombre fini de chiffres après la virgule ?

56\frac{5}{6}
−23\frac{-2}{3}
720\frac{7}{20}
103\frac{10}{3}

$$\frac{7}{20}$$

Explication

720=0,35\frac{7}{20}=0,35, dont l’écriture décimale est finie; son dénominateur peut aussi être ramené à une puissance de dix. 103\frac{10}{3} donne une écriture périodique infinie, et les autres fractions proposées ont aussi des écritures décimales infinies.

3. La division euclidienne de 45 par 9 a un reste nul. Quel rôle joue 45 par rapport à 9 ?

Un nombre égal à 9
Un quotient égal à 9
Un multiple de 9
Un diviseur de 9

Un multiple de 9

Explication

Lorsque la division euclidienne de 45 par 9 a un reste nul, 45 est un multiple de 9. Dire que 9 est le diviseur inverse les rôles; le quotient vaut 5, et non 9.

4. Un entier naturel possède exactement deux diviseurs positifs, 1 et 13. Quelle conclusion s’applique ?

13 est un nombre composé
13 est un nombre premier
13 n’est pas un nombre premier
13 est un nombre premier entre eux

13 est un nombre premier

Explication

Un nombre premier admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Un nombre composé possède davantage de diviseurs, « seul diviseur 1 » contredit les deux diviseurs indiqués, et « premiers entre eux » concerne une paire de nombres.

5. Pour décomposer 84 en produit de nombres premiers, quelle démarche faut-il suivre ?

Diviser successivement par des nombres quelconques jusqu’à obtenir un quotient premier
Diviser successivement par des facteurs premiers jusqu’à n’obtenir que des facteurs premiers
Énumérer les diviseurs de 84 sans former de produit
Diviser une fois par un facteur premier puis conserver le quotient comme facteur final

Diviser successivement par des facteurs premiers jusqu’à n’obtenir que des facteurs premiers

Explication

La décomposition se construit en divisant successivement par des facteurs premiers jusqu’à ce que tous les facteurs obtenus soient premiers. S’arrêter après une division laisse souvent un quotient à décomposer, une liste de diviseurs ne forme pas un produit, et des diviseurs quelconques ne garantissent pas une décomposition en facteurs premiers.

6. Deux entiers ont pour diviseurs communs 1, 2 et 6. Sont-ils premiers entre eux ?

Oui, car leur plus grand diviseur commun est 6
Non, car ils n’ont aucun diviseur commun
Oui, car ils ont au moins un diviseur commun
Non, car ils ont un diviseur commun supérieur à 1

Non, car ils ont un diviseur commun supérieur à 1

Explication

Deux nombres sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1 ; le diviseur commun 2 ou 6 exclut donc cette propriété. Avoir un diviseur commun ne suffit pas à établir qu’ils le sont, le plus grand diviseur commun 6 indique le contraire, et ils ont bien des diviseurs communs.

7. Deux entiers sont tous deux divisibles par 3. Quelle conclusion peut-on tirer sur le fait qu’ils soient premiers entre eux ?

Ils sont premiers entre eux, car la divisibilité commune par 3 s’annule
On ne peut pas le déterminer sans examiner leurs diviseurs communs
Ils ne sont pas premiers entre eux, car deux nombres divisibles par 3 partagent toujours d’autres diviseurs
Ils ne sont pas premiers entre eux, car 3 est forcément leur seul diviseur commun

On ne peut pas le déterminer sans examiner leurs diviseurs communs

Explication

La divisibilité des deux nombres par 3 ne permet pas, à elle seule, de conclure qu’ils ne sont pas premiers entre eux : ils peuvent avoir d’autres facteurs ou non, et il faut examiner leurs diviseurs communs. Le facteur 3 n’est pas nécessairement leur seul diviseur commun, il ne s’annule pas pour établir la coprimalité, et la divisibilité commune n’impose pas toujours d’autres diviseurs communs.

8. Un nombre entier se termine par 6. Que peut-on conclure à propos de sa divisibilité par 2 ?

Il est divisible par 5.
Il est divisible par 10.
Il est divisible par 2.
Il est divisible par 3 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4.

Il est divisible par 2.

Explication

Un nombre est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Le critère de 5 exige une terminaison par 0 ou 5, celui de 10 une terminaison par 0, et le multiple de 4 concerne la divisibilité par 4.

9. Pour déterminer si 7 218 est divisible par 3, quelle vérification faut-il effectuer ?

Vérifier si 18 est un multiple de 4.
Vérifier si son chiffre des unités est 0.
Additionner ses chiffres et vérifier si la somme est divisible par 3.
Vérifier si son chiffre des unités est pair.

Additionner ses chiffres et vérifier si la somme est divisible par 3.

Explication

La divisibilité par 3 se teste en vérifiant si la somme des chiffres est divisible par 3 ; ici, 7+2+1+8=187+2+1+8=18, qui est divisible par 3. Le chiffre des unités sert au critère de 2, les deux derniers chiffres au critère de 4 et la terminaison par 0 au critère de 10.

10. Un élève veut savoir si 6 532 est divisible par 4. Quel calcul suffit pour appliquer le critère ?

Vérifier si 2 est un chiffre pair.
Vérifier si le nombre se termine par 0.
Vérifier si 32 est un multiple de 4.
Vérifier si 16, somme des chiffres, est un multiple de 4.

Vérifier si 32 est un multiple de 4.

Explication

Pour tester la divisibilité par 4, on examine le nombre formé par les deux derniers chiffres : 32 est un multiple de 4, donc 6 532 est divisible par 4. La somme des chiffres sert au critère de 3, le chiffre des unités à celui de 2 et la terminaison par 0 à celui de 10.

11. On coupe le nombre 8,3764 au centième sans arrondir. Quel résultat obtient-on ?

8,37
8,376
8,38
8,3

8,37

Explication

La troncature au centième conserve les chiffres jusqu’au rang des centièmes et supprime ceux qui suivent : on obtient 8,37. Le résultat 8,38 provient d’un arrondi, tandis que 8,376 conserve un chiffre supplémentaire.

12. Quelle est la valeur approchée par défaut de 6,284 au dixième ?

6,28
6,3
6,0
6,2

6,2

Explication

La valeur approchée par défaut est la troncature au rang demandé : au dixième, 6,284 devient 6,2. La valeur 6,3 est immédiatement supérieure à cette troncature, 6,28 correspond au centième et 6,0 coupe au rang des unités.

13. La troncature de 9,731 au centième est 9,73. Quelle est sa valeur approchée par excès au même rang ?

9,731
9,73
9,7
9,74

9,74

Explication

La valeur approchée par excès est le nombre immédiatement supérieur à la troncature au rang demandé ; au centième, elle vaut donc 9,74. 9,73 est la troncature par défaut, tandis que 9,7 correspond au dixième et 9,731 conserve un chiffre de plus.

14. Quelle propriété distingue l’arrondi d’un nombre décimal à un rang de sa troncature à ce rang ?

L’arrondi retient la valeur approchée la plus proche, tandis que la troncature supprime les chiffres suivants.
L’arrondi retient la valeur approchée supérieure, tandis que la troncature supprime les chiffres suivants.
L’arrondi retient la valeur approchée inférieure, tandis que la troncature supprime les chiffres suivants.
L’arrondi supprime les chiffres suivants, tandis que la troncature retient la valeur la plus proche.

L’arrondi retient la valeur approchée la plus proche, tandis que la troncature supprime les chiffres suivants.

Explication

L’arrondi choisit, parmi les valeurs approchées par défaut et par excès, celle qui est la plus proche du nombre ; la troncature supprime simplement les chiffres à droite du rang. La suppression des chiffres décrit la troncature, et les valeurs toujours supérieures ou inférieures confondent l’arrondi avec une approximation par excès ou par défaut.

15. Pour arrondir 8,27648,2764 au centième, la troncature au millième est 8,2768,276 ; quel arrondi faut-il retenir ?

8,278,27, la valeur par défaut au centième
8,2768,276, la valeur au millième
8,308,30, la valeur par excès au dixième
8,288,28, la valeur par excès au centième

$$8,28$$, la valeur par excès au centième

Explication

La troncature au rang suivant se termine par 6, donc on choisit la valeur par excès au centième : 8,288,28. 8,278,27 résulte du choix par défaut malgré le 6, tandis que 8,2768,276 et 8,308,30 correspondent à des rangs différents.

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Comment définit-on un entier naturel ?

Un nombre entier positif ou nul.

Comment se note l’ensemble des entiers naturels ?

N={0;1;2;3;…}\mathbb{N} = \{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \ldots\}

Sous quelle forme fractionnaire un nombre décimal peut-il s’écrire ?

Sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.

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