QCM : Proportionnalité et théorème de Pythagore (31 questions)

Explication

Une situation de proportionnalité se représente par des points alignés avec l’origine, donc par une droite passant par l’origine. Une droite décalée, une courbe ou une droite parallèle à l’axe horizontal ne satisfait pas ce critère.

Explication

Le coefficient de proportionnalité est le multiplicateur qui transforme chaque valeur d’une ligne en la valeur correspondante de l’autre ligne. Une valeur de départ, une différence constante ou le multiplicateur inverse ne désignent pas ce nombre.

Explication

Un tableau est proportionnel lorsque le passage d’une ligne à l’autre utilise le même multiplicateur pour chaque paire de valeurs correspondantes. Une différence constante, une seule colonne concordante ou une simple hausse simultanée ne suffit pas.

Explication

Pour vérifier la proportionnalité, on compare les rapports des valeurs correspondantes, en gardant le même sens de division pour chaque colonne ; ils doivent être égaux. Comparer des différences ou des produits ne teste pas cette règle.

Explication

Deux fractions $\frac{A}{B}$ et $\frac{C}{D}$ sont égales si leurs produits en croix vérifient $A \times D = B \times C$ ; ici, on compare donc $18 \times 28$ et $24 \times 21$. Multiplier les numérateurs entre eux ou comparer séparément les termes ne constitue pas le test en croix.

Explication

Prendre 15 % d’une quantité revient à la multiplier par $\frac{15}{100}$ : $240\times\frac{15}{100}=36$ g. 3 600 g vient de l’oubli de la division par 100, 204 g correspond à une diminution de 15 %, et 16 g résulte d’une division par 15.

Explication

Pour trouver le pourcentage, on écrit la proportion entre la partie et le tout avec un dénominateur égal à 100 : $\frac{18}{40}=\frac{p}{100}$. $\frac{40}{18}$ inverse la partie et le tout, $\frac{22}{40}$ utilise les membres qui ne pratiquent pas le tennis, et $\frac{p}{40}$ ne ramène pas le dénominateur à 100.

Explication

La méthode consiste à calculer le carré du plus grand côté, puis la somme des carrés des deux autres côtés et à comparer ces résultats. Comparer $12^2$ choisit un côté qui n’est pas le plus grand, $9+12$ omet le carré des deux autres côtés, et comparer $9^2$ choisit le plus petit côté.

Explication

La réciproque de Pythagore affirme que si le carré du plus grand côté égale la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle. La contraposée conclut qu’un triangle n’est pas rectangle lorsque l’égalité n’est pas vérifiée, l’égalité ne caractérise pas un triangle isocèle, et aucun angle supplémentaire n’est nécessaire.

Explication

La racine carrée d’un nombre positif est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre ; comme $7^2=49$, $\sqrt{49}=7$. $49^2$ est le carré de 49, $-7$ n’est pas positif et 24,5 est la moitié de 49.

Explication

Un ratio $5 : 2$ signifie que le quotient du premier nombre par le second vaut $\frac{5}{2}$. $\frac{2}{5}$ inverse l’ordre, $\frac{5}{7}$ utilise la somme des termes et $\frac{5}{3}$ leur différence.

Explication

La somme des termes est $4+3=7$, donc une part vaut $420\div7=60$ € et la personne reçoit $4\times60=240$ €. 1 680 € omet le calcul de la part unitaire, 105 € divise par 4 et 180 € applique le terme 3.

Explication

Deux grandeurs dans un ratio sont proportionnelles : multiplier la quantité de sirop par 3 impose de multiplier aussi celle d’eau par 3. La garder fixe ou lui ajouter 3 unités ne conserve pas le ratio, et la diviser inverse le facteur.

Explication

Le théorème de Pythagore permet de calculer un côté d’un triangle rectangle lorsque les deux autres longueurs sont connues. Il porte sur les longueurs des côtés, pas directement sur l’angle droit ou l’aire.

Explication

Pour obtenir l’hypoténuse, on additionne les carrés des deux côtés de l’angle droit, puis on prend la racine carrée. La soustraction sert à retrouver un côté de l’angle droit lorsque l’hypoténuse est connue; additionner les longueurs ne respecte pas le théorème.

Explication

GI est l’hypoténuse, donc $GH^2=GI^2-HI^2=13^2-5^2=169-25=144$ et $GH=\sqrt{144}=12$ cm. $\sqrt{194}$ applique l’addition réservée au calcul de l’hypoténuse; 8 cm et $\sqrt{8}$ résultent d’opérations sur les longueurs plutôt que sur leurs carrés.

Explication

L’effectif d’une donnée est le nombre de fois où elle apparaît dans la liste : ici, 8 apparaît cinq fois. Répondre « 8 » confond la donnée avec son effectif, « 1 » compte une valeur distincte et l’effectif total concerne toute la série.

Explication

La fréquence se calcule en divisant l’effectif de la donnée par l’effectif total, soit $\frac{5}{25}$. « 5 » est l’effectif, $\frac{25}{5}$ inverse le quotient et $\frac{5}{1}$ ne tient pas compte du total de la série.

Explication

Pour présenter une série, on peut ranger les données par ordre croissant puis les regrouper dans un ou plusieurs tableaux d’effectifs. L’ordre décroissant inverse le classement proposé, le regroupement direct en classes relève d’un autre choix de présentation et l’ordre d’apparition ne réalise pas le rangement croissant.

Explication

Lorsque les données numériques sont nombreuses, les regrouper en classes facilite la présentation des effectifs. Le regroupement par fréquence ne crée pas de classes, l’ordre d’apparition ne simplifie pas cette présentation, et séparer des tableaux sans classes ne correspond pas au regroupement visé.

Explication

La moyenne est la somme des données divisée par l’effectif total : $\frac{4+7+8+10+11}{5}=8$. La somme seule donne 40, le nombre de valeurs distinctes est ici également cinq, et inverser le quotient ne calcule pas la moyenne.

Explication

On multiplie chaque valeur par son effectif, puis on divise par l’effectif total : $\frac{12\times3+18\times2}{3+2}=\frac{72}{5}=14,4$. La moyenne simple ignore les effectifs, tandis que 72 est la somme pondérée avant division.

Explication

Avec un nombre pair de données, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales : $\frac{7+10}{2}=8,5$. Les valeurs 7 et 10 sont les deux valeurs centrales, mais chacune prise seule ne donne pas leur moyenne.

Explication

L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $19-6=13$ °C. Additionner les extrêmes ou inverser leur ordre ne correspond pas à cette définition; 19 °C est seulement le maximum.

Explication

Les séries statistiques peuvent être représentées par des diagrammes en bâtons verticaux ou horizontaux, ainsi que par des histogrammes. Les courbes, les diagrammes circulaires et les tableaux ne sont pas les formes précisées ici.

Explication

Un agrandissement ou une réduction conserve la forme et multiplie les longueurs par un facteur strictement positif. Multiplier les aires confond l’effet sur les longueurs avec celui sur les surfaces ; modifier les angles ou simplement déplacer la figure ne décrit pas cette transformation.

Explication

Un rapport strictement compris entre 0 et 1 donne une réduction ; ici, $0<0{,}7<1$. L’agrandissement correspond à un rapport supérieur à 1, tandis qu’un rapport positif n’a pas à être égal à 1.

Explication

Le volume est multiplié par $k^3$ : $12\times2^3=12\times8=96\text{ cm}^3$. Le résultat $24\text{ cm}^3$ utilise le facteur linéaire, $48\text{ cm}^3$ le facteur d’aire, et $14\text{ cm}^3$ provient d’une addition.

Explication

Dans $a^n$, l’exposant $n$ indique combien de facteurs égaux à la base sont multipliés : $7^4=7\times7\times7\times7$. La base est ici 7, et l’exposant n’est ni le résultat ni un décompte de facteurs différents.

Explication

La division donne $5^{8-3}=5^5$ et la puissance d’une puissance donne $5^{2\times2}=5^4$ ; leur produit vaut donc $5^{5+4}=5^9$. Les autres résultats reflètent une mauvaise règle de division, de puissance de puissance ou de multiplication.

Explication

On calcule d’abord la puissance, puis la multiplication et enfin la soustraction : $3^2=9$, $2\times9=18$, donc $18-18=0$. Les autres valeurs résultent d’un ordre opératoire erroné ou d’une interprétation incorrecte de l’exposant.