Fiche de révision : Proportions et évolutions

📋 Plan du Cours

1. Définition des proportions
2. Proportion de proportion
3. Variations et taux d’évolution
4. Coefficient multiplicateur
5. Évolutions successives et réciproques

📖 1. Définition des proportions

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion : La proportion de A dans E est le nombre $p = \frac{n}{N}$, où N est le nombre d’éléments de E et n le nombre d’éléments de A.

★ À maîtriser

• Pour obtenir une proportion en pourcentage, on multiplie sa valeur par 100.

Compléments

• Dans une classe de 32 élèves comprenant 21 filles, la proportion de filles est $\frac{21}{32}$, soit environ 65,625 %.

💡 Astuce mémo

Population E, sous-population A : N au total contre n dans A.

📖 2. Proportion de proportion

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si A est une partie de E et B une partie de A, avec p la proportion de A dans E et p’ la proportion de B dans A, alors la proportion de B dans E est $p \times p’$.

• Si 60 % des élèves d’une classe sont des filles et que 75 % de ces filles sont brunes, la proportion de filles brunes dans la classe est $0{,}60 \times 0{,}75 = 0{,}45$, soit 45 %.

💡 Astuce mémo

E contient A, puis A contient B : p × p’.

📖 3. Variations et taux d’évolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Variation absolue : La variation absolue entre une valeur d’arrivée V_A et une valeur de départ V_D est le nombre $V_A - V_D$.
• Variation relative : La variation relative entre V_A et V_D est le nombre $T = \frac{V_A - V_D}{V_D}$, appelé taux d’évolution.

★ À maîtriser

📌 Pour une augmentation, le taux d’évolution T est positif, tandis que pour une diminution, T est négatif.

Compléments

• Un prix passant de 8 € à 9 € a une variation absolue de 1 € et un taux d’évolution de 0,125, soit une hausse de 12,5 %.

• Un article passant de 52 € à 41,60 € a une variation absolue de −10,40 € et un taux d’évolution de −0,20, soit une baisse de 20 %.

💡 Astuce mémo

Variation absolue = écart en unités ; variation relative = écart rapporté au départ.

📖 4. Coefficient multiplicateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur lié à une évolution de taux T est le nombre $CM = \frac{V_A}{V_D}$, selon le schéma $V_D \times CM \rightarrow V_A$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le coefficient multiplicateur et le taux d’évolution sont reliés par la formule $CM = 1 + T$.

📌 Une hausse possède un taux d’évolution positif et un coefficient multiplicateur supérieur à 1, tandis qu’une baisse possède un taux négatif et un coefficient multiplicateur inférieur à 1.

Compléments

• Augmenter une grandeur de 3 % revient à appliquer un taux T = 0,03 et à multiplier la grandeur par 1,03.

• Diminuer une grandeur de 12 % revient à appliquer un taux T = −0,12 et à multiplier la grandeur par 0,88.

• Un produit coûtant 500 euros après une augmentation de 4 % vaut 520 euros.

💡 Astuce mémo

Taux positif → hausse → coefficient supérieur à 1 ; taux négatif → baisse → coefficient inférieur à 1.

📖 5. Évolutions successives et réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Évolution réciproque : L’évolution réciproque de V_D à V_A est l’évolution de V_A à V_D.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux évolutions successives de coefficients multiplicateurs CM1 et CM2, le coefficient multiplicateur global est $CM = CM1 \times CM2$.

📐 Formule — L’évolution réciproque d’une évolution de coefficient multiplicateur CM a pour coefficient multiplicateur $CM’ = \frac{1}{CM}$.

• Augmenter une grandeur de 30 %, puis de 40 %, revient à appliquer les coefficients 1,3 et 1,4, soit un coefficient global de 1,82 et une hausse globale de 82 %, non de 70 %.

Compléments

📌 Deux évolutions sont réciproques si, après leur application successive, la valeur finale est égale à la valeur initiale.

💡 Astuce mémo

Évolutions successives : on multiplie les coefficients ; évolution réciproque : on prend l’inverse.

📊 Tableaux de synthèse

Hausse et baisse