Fiche de révision : Dérivation et fonctions usuelles

📋 Plan du Cours

1. Nombre dérivé et tangente
2. Dérivabilité et fonction dérivée
3. Formulaire des dérivées usuelles
4. Opérations sur les dérivées
5. Variations et extrema
6. Fonction exponentielle
7. Trinôme du second degré
8. Dérivées de fonctions composées

📖 1. Nombre dérivé et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : La limite $f’(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ lorsqu’elle existe.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’équation réduite de la tangente à la courbe au point A(a,f(a)) est $y=f’(a)(x-a)+f(a)$.

📌 Si f’(a)>0, la courbe est localement croissante ; si f’(a)<0, elle est localement décroissante ; si f’(a)=0, la tangente est horizontale.

Compléments

📐 Formule — Le nombre dérivé peut aussi s’écrire $f’(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.

💡 Astuce mémo

f’(a)>0 : la tangente monte ; f’(a)<0 : elle descend ; f’(a)=0 : elle est horizontale

📖 2. Dérivabilité et fonction dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée : Associe à tout x d’un intervalle de dérivabilité le nombre dérivé f’(x) de f en x.

★ À maîtriser

📌 La fonction racine carrée est définie sur [0,+∞[ mais dérivable seulement sur ]0,+∞[ ; en 0, sa tangente est verticale.

Compléments

• Pour la fonction racine carrée, la rationalisation donne $\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}=\frac{1}{\sqrt{4+h}+2}$ et donc f’(4)=0,25.

📖 3. Formulaire des dérivées usuelles

★ À maîtriser

• Les dérivées usuelles sont:
  • constante k : 0
  • identité x : 1
  • affine px+q : p
  • carré x² : 2x
  • cube x³ : 3x²
  • inverse 1/x : -1/x²
  • racine carrée √x : 1/(2√x)

Compléments

📌 La valeur absolue est définie sur R et sa dérivée vaut 1 si x>0, -1 si x<0, tandis qu’elle n’existe pas en 0.

📖 4. Opérations sur les dérivées

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une somme, $\left(u+v\right)’=u’+v’$ ; pour un produit par un réel k, $(ku)’=ku’$.

📐 Formule — Pour un produit de fonctions, $(uv)’=u’v+uv’$.

📐 Formule — Pour un quotient, $\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}$ sur les intervalles où v ne s’annule pas.

💡 Astuce mémo

Somme, produit, quotient : on dérive selon l’opération

📖 5. Variations et extrema

📝 Points essentiels

• 🔄 Pour étudier les variations:
  1. étudier la dérivabilité de f
  2. définir f’ sur l’ensemble de dérivabilité
  3. étudier le signe de f’
  4. conclure sur les variations par intervalle
  5. dresser si besoin le tableau de variation

📌 Sur un intervalle, f est constante si et seulement si f’(x)=0 pour tout x ; f est croissante si f’(x)>0 pour tout x ; f est décroissante si f’(x)<0 pour tout x.

📌 Si f’ s’annule et change de signe en c dans un intervalle ouvert, alors f admet un extremum local en c.

💡 Astuce mémo

Signe de f’ → variations de f ; changement de signe de f’ → extremum local

📖 6. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction définie sur R par f(x)=exp(x), vérifiant f’(x)=f(x) et f(0)=1.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tous réels x et y, $e^{x+y}=e^x\times e^y$ et $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$.

• Pour tout réel x, e^x>0 et la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

Compléments

📌 La stricte croissance donne e^x=e^y si et seulement si x=y, e^x<e^y si et seulement si x<y, et e^x>e^y si et seulement si x>y.

💡 Astuce mémo

e^x>0 et strictement croissante → l’ordre des exponentielles suit celui des exposants

📖 7. Trinôme du second degré

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour le trinôme ax²+bx+c avec a≠0, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$ et le sommet de la parabole a pour coordonnées $\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$.

📌 Si Δ=0, le trinôme possède une racine réelle double x₀=-b/(2a) ; si Δ>0, il possède deux racines réelles x₁=(-b-√Δ)/(2a) et x₂=(-b+√Δ)/(2a) ; si Δ<0, il n’a aucune racine réelle.

📌 Lorsque Δ>0, le trinôme est du signe de -a entre les deux racines et du signe de a à l’extérieur ; lorsque Δ=0 ou Δ<0, il est du signe de a.

💡 Astuce mémo

Δ>0 : deux racines ; Δ=0 : une racine ; Δ<0 : aucune racine réelle

📖 8. Dérivées de fonctions composées

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une fonction dérivable u, les dérivées composées usuelles comprennent $(\sqrt{u})’=\frac{u’}{2\sqrt{u}},\quad (u^n)’=nu^{n-1}u’,\quad \left(\frac1u\right)’=-\frac{u’}{u^2}.$

Compléments

📐 Formule — Les autres dérivées composées usuelles sont $(u^2)’=2uu’,\quad \left(\frac1{\sqrt{u}}\right)’=-\frac{u’}{2u\sqrt{u}},\quad (a^u)’=a^u u’\ln(a).$

📌 Les fonctions composées précédentes sont considérées sur l’intersection des domaines de définition de u et de u’, avec les restrictions nécessaires comme u≠0 pour 1/u.

📊 Tableaux de synthèse

Dérivées usuelles

Discriminant et trinôme