QCM : Dérivation et fonctions usuelles — 21 questions

Question 1

1. Laquelle des expressions définit le nombre dérivé de $f$ en $a$ lorsqu’il existe ?

\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(0)}{x-a}

\lim_{h\to a}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

\lim_{x\to0}\frac{f(x+a)-f(x)}{a}

\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Explication

Le nombre dérivé en $a$ est défini par le taux d’accroissement entre $a$ et $a+h$ lorsque $h$ tend vers zéro. Une limite quand $h$ tend vers $a$ ne décrit pas le rapprochement des deux abscisses au point considéré.

Answer

$$\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Question 2

2. La tangente à la courbe de $f$ au point $A(a,f(a))$ a pour équation laquelle ?

y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=f(a)(x-a)+f'(a)

y=f'(x)(a-x)+f(a)

y=f(a)x+f'(a)

Explication

La pente de la tangente est $f'(a)$ et elle passe par le point $A(a,f(a))$ , ce qui conduit à l’équation donnée. La valeur $f(a)$ représente l’ordonnée du point de contact, et non la pente.

Answer

$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

Question 3

3. Que peut-on déduire localement lorsque $f'(a)<0$ ?

La courbe est localement croissante au voisinage de

a

.

La tangente à la courbe est horizontale en

a

.

La courbe est localement décroissante au voisinage de

a

.

La fonction prend une valeur nulle au point d’abscisse

a

.

Explication

Un nombre dérivé négatif indique que la courbe est localement décroissante près de $a$ . Une tangente horizontale correspond plutôt à un nombre dérivé nul.

Answer

La courbe est localement décroissante au voisinage de $$a$$.

Question 4

4. Quelle distinction décrit correctement la dérivabilité en un point et la fonction dérivée ?

La dérivabilité donne une courbe, tandis que la fonction dérivée donne une seule pente constante.

La dérivabilité concerne un point, tandis que la fonction dérivée regroupe les nombres dérivés sur un intervalle.

La dérivabilité concerne l’ordonnée, tandis que la fonction dérivée concerne l’abscisse du point étudié.

La dérivabilité concerne un intervalle, tandis que la fonction dérivée décrit un seul nombre en un point.

Explication

Être dérivable en un point signifie que le nombre dérivé existe pour cette abscisse. La fonction dérivée associe ensuite à chaque point d’un intervalle de dérivabilité son nombre dérivé.

Answer

La dérivabilité concerne un point, tandis que la fonction dérivée regroupe les nombres dérivés sur un intervalle.

Question 5

5. Pourquoi la fonction racine carrée n’est-elle pas dérivable en $0$ malgré le fait qu’elle y soit définie ?

Sa tangente en

0

est verticale, ce qui empêche l’existence d’un nombre dérivé fini.

Elle n’est pas définie dans un voisinage droit de

0

.

Elle change de signe de part et d’autre de

0

.

Son nombre dérivé en

0

vaut exactement

0

.

Explication

La racine carrée est définie en zéro et sur les réels positifs, mais sa tangente en zéro est verticale. Une tangente verticale ne correspond pas à un nombre dérivé fini.

Answer

Sa tangente en $$0$$ est verticale, ce qui empêche l’existence d’un nombre dérivé fini.

Question 6

6. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=x^3$ ?

f'(x)=2x

f'(x)=3x

f'(x)=3x^2

f'(x)=x^2

Explication

La dérivée usuelle de $x^3$ est $3x^2$ . L’expression $2x$ est la dérivée de $x^2$ , une confusion fréquente entre les deux puissances.

Answer

$$f'(x)=3x^2$$

Question 7

7. Que vaut la dérivée de la valeur absolue en un point strictement négatif $x$ ?

x

1

-1

Elle n’existe pas pour ce point.

Explication

Sur les nombres strictement négatifs, la valeur absolue se comporte comme la fonction $-x$ , dont la dérivée vaut $-1$ . La dérivée n’existe pas en zéro, mais elle existe pour tout point négatif.

Answer

$$u’+v’$$

Answer

$$u’v+uv’$$

Answer

Sur les intervalles où $$v$$ ne s’annule pas

Answer

Étudier le signe de sa dérivée puis en déduire ses variations

Answer

$$f$$ est croissante sur cet intervalle

Answer

$$f$$ admet un extremum local en $$c$$

Answer

Elle vérifie $$f’(x)=f(x)$$ et $$f(0)=1$$

Answer

$$e^{-x}=\frac{1}{e^x}$$

Answer

$$e^x<e^y$$

Answer

$$\Delta=b^2-4ac$$

Answer

Aucune racine réelle

Answer

Le signe de $$-a$$

Answer

$$nu^{n-1}u’$$

Answer

$$a^u u’\ln(a)$$

Question 8

8. Quelle expression donne la dérivée d’une somme de deux fonctions dérivables $u$ et $v$ ?

u’+v’

u’v-uv’

u’v+uv’

\frac{u’}{v’}

Explication

La dérivée d’une somme se calcule en additionnant les dérivées des deux fonctions. La formule à deux termes concerne le produit de fonctions, et non une somme.

Question 9

9. Si $u$ et $v$ sont dérivables, quelle est la dérivée de leur produit ?

u’+v’

u’v-uv’

\frac{u’v-uv’}{v^2}

u’v+uv’

Explication

La dérivée d’un produit contient deux termes : la dérivée du premier facteur multipliée par le second, puis le premier facteur multiplié par la dérivée du second. La somme des dérivées correspond à une somme de fonctions.

Question 10

10. Sur quel ensemble peut-on appliquer la formule de dérivation de $\frac{u}{v}$ ?

Sur les intervalles où

u+v

ne s’annule pas

Sur les intervalles où

u

et

v

sont constants

Sur les intervalles où

v

ne s’annule pas

Sur les intervalles où

u

ne s’annule pas

Explication

Le quotient est défini et sa formule de dérivation s’applique sur les intervalles où le dénominateur $v$ est non nul. La non-annulation de $u$ ou de $u+v$ ne garantit pas que le quotient soit défini.

Question 11

11. Quelle démarche permet d’étudier les variations d’une fonction dérivable ?

Calculer sa dérivée sans examiner son signe

Déterminer ses zéros puis supposer ses variations

Étudier le signe de sa dérivée puis en déduire ses variations

Étudier ses valeurs sans tenir compte de sa dérivabilité

Explication

L’étude des variations repose sur le signe de la dérivée sur les intervalles considérés. Le calcul de la dérivée seul ne permet pas de conclure sur le sens de variation.

Question 12

12. Que peut-on conclure sur une fonction $f$ définie sur un intervalle si $f’(x)>0$ pour tout $x$ de cet intervalle ?

f

possède un maximum local en tout point

f

est croissante sur cet intervalle

f

est constante sur cet intervalle

f

est décroissante sur cet intervalle

Explication

Une dérivée strictement positive en tout point indique que la fonction est croissante sur l’intervalle. Une dérivée nulle partout caractériserait une fonction constante, tandis qu’une dérivée négative indiquerait une fonction décroissante.

Question 13

13. Que peut-on déduire si $f’$ s’annule en $c$ et change de signe en traversant $c$ ?

f

n’est pas dérivable en

c

f

admet un extremum local en

c

f

est constante sur tout l’intervalle

f

possède une valeur nulle en

c

Explication

L’annulation de la dérivée accompagnée d’un changement de signe caractérise un extremum local en $c$ . Elle n’implique ni que la fonction soit constante, ni que sa valeur en $c$ soit nulle.

Question 14

14. Quelle caractérisation définit la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ ?

Elle vérifie

f’(x)=f(x)

et

f(0)=1

Elle vérifie

f’(x)=-f(x)

et

f(0)=1

Elle vérifie

f’(x)=0

et

f(0)=1

Elle vérifie

f’(x)=1

et

f(0)=0

Explication

La fonction exponentielle est définie par l’équation différentielle $f’(x)=f(x)$ et la condition initiale $f(0)=1$ . Les autres conditions décrivent des fonctions différentes ou incompatibles avec l’exponentielle.

Question 15

15. Quelle identité permet de réécrire $e^{-x}$ ?

e^{-x}=\frac{1}{x e^x}

e^{-x}=e^x\times e^x

e^{-x}=\frac{1}{e^x}

e^{-x}=e^x+1

Explication

L’exponentielle d’un opposé est l’inverse de l’exponentielle correspondante, donc $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$ . La règle $e^{x+y}=e^x\times e^y$ concerne une somme d’exposants.

Question 16

16. Pour deux réels $x$ et $y$ , que peut-on conclure de $x<y$ ?

e^x=0

e^x<e^y

e^x>e^y

e^x=e^y

Explication

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , donc elle conserve l’ordre des exposants. Elle reste aussi strictement positive, ce qui exclut une valeur nulle.

Question 17

17. Pour le trinôme $ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , quelle expression donne son discriminant ?

\Delta=b^2-4ac

\Delta=\frac{b^2-4ac}{2a}

\Delta=b^2+4ac

\Delta=-\frac{b}{2a}

Explication

Le discriminant se calcule en soustrayant $4ac$ à $b^2$ . L’expression $-\frac{b}{2a}$ correspond à l’abscisse du sommet, et non au discriminant.

Question 18

18. Combien de racines réelles possède un trinôme lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

Aucune racine réelle

Une racine réelle et une racine complexe

Deux racines réelles distinctes

Une racine réelle double

Explication

Un discriminant négatif indique que le trinôme ne possède aucune racine réelle. Une racine double apparaît lorsque $\Delta=0$ , tandis que deux racines réelles distinctes apparaissent lorsque $\Delta>0$ .

Question 19

19. Lorsque $\Delta>0$ , quel est le signe du trinôme entre ses deux racines réelles ?

Le signe de

-a

Le signe de

a

Le signe de

b

Le signe de

c

Explication

Entre les deux racines, le trinôme possède le signe opposé à celui de son coefficient dominant, donc le signe de $-a$ . À l’extérieur de l’intervalle formé par les racines, il prend le signe de $a$ .

Question 20

20. Si $u$ est dérivable, quelle expression donne la dérivée de $u^n$ ?

nu^{n-1}

n u^n u’

nu^{n-1}u’

u^n u’

Explication

La règle de dérivation d’une puissance composée ajoute le facteur $u’$ : on obtient $nu^{n-1}u’$ . L’expression $nu^{n-1}$ correspondrait à une puissance de la variable dérivée directement, sans composition par $u$ .

Question 21

21. Pour une fonction dérivable $u$ , quelle est la dérivée de $a^u$ lorsque $a>0$ ?

a^u\ln(u)u’

u a^{u-1}u’

a^u u’

a^u u’\ln(a)

Explication

La dérivée d’une exponentielle de base $a$ composée avec $u$ est $a^u u’\ln(a)$ . La formule $a^u u’$ convient au cas particulier où $a=e$ , car $\ln(e)=1$ .

QCM : Dérivation et fonctions usuelles — 21 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit le nombre dérivé de $f$ en $a$ lorsqu’il existe ?

2. La tangente à la courbe de $f$ au point $A(a,f(a))$ a pour équation laquelle ?

3. Que peut-on déduire localement lorsque $f'(a)<0$ ?

4. Quelle distinction décrit correctement la dérivabilité en un point et la fonction dérivée ?

5. Pourquoi la fonction racine carrée n’est-elle pas dérivable en $0$ malgré le fait qu’elle y soit définie ?

6. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=x^3$ ?

7. Que vaut la dérivée de la valeur absolue en un point strictement négatif $x$ ?

8. Quelle expression donne la dérivée d’une somme de deux fonctions dérivables $u$ et $v$ ?

9. Si $u$ et $v$ sont dérivables, quelle est la dérivée de leur produit ?

10. Sur quel ensemble peut-on appliquer la formule de dérivation de $\frac{u}{v}$ ?

11. Quelle démarche permet d’étudier les variations d’une fonction dérivable ?

12. Que peut-on conclure sur une fonction $f$ définie sur un intervalle si $f’(x)>0$ pour tout $x$ de cet intervalle ?

13. Que peut-on déduire si $f’$ s’annule en $c$ et change de signe en traversant $c$ ?

14. Quelle caractérisation définit la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ ?

15. Quelle identité permet de réécrire $e^{-x}$ ?

16. Pour deux réels $x$ et $y$ , que peut-on conclure de $x<y$ ?

17. Pour le trinôme $ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , quelle expression donne son discriminant ?

18. Combien de racines réelles possède un trinôme lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

19. Lorsque $\Delta>0$ , quel est le signe du trinôme entre ses deux racines réelles ?

20. Si $u$ est dérivable, quelle expression donne la dérivée de $u^n$ ?

21. Pour une fonction dérivable $u$ , quelle est la dérivée de $a^u$ lorsque $a>0$ ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Biochimie et acides aminés

Psychologie analytique et développement

Enzymologie et génie enzymatique

Proportions et évolutions

Courant continu et alternatif

Le sol, une interface vivante

Crée tes propres QCM

QCM : Dérivation et fonctions usuelles — 21 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit le nombre dérivé de fff en aaa lorsqu’il existe ?

2. La tangente à la courbe de fff au point A(a,f(a))A(a,f(a))A(a,f(a)) a pour équation laquelle ?

3. Que peut-on déduire localement lorsque f′(a)<0f'(a)<0f′(a)<0 ?

4. Quelle distinction décrit correctement la dérivabilité en un point et la fonction dérivée ?

5. Pourquoi la fonction racine carrée n’est-elle pas dérivable en 000 malgré le fait qu’elle y soit définie ?

6. Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3 ?

7. Que vaut la dérivée de la valeur absolue en un point strictement négatif xxx ?

8. Quelle expression donne la dérivée d’une somme de deux fonctions dérivables uuu et vvv ?

9. Si uuu et vvv sont dérivables, quelle est la dérivée de leur produit ?

10. Sur quel ensemble peut-on appliquer la formule de dérivation de uv\frac{u}{v}vu​ ?

11. Quelle démarche permet d’étudier les variations d’une fonction dérivable ?

12. Que peut-on conclure sur une fonction fff définie sur un intervalle si f’(x)>0f’(x)>0f’(x)>0 pour tout xxx de cet intervalle ?

13. Que peut-on déduire si f’f’f’ s’annule en ccc et change de signe en traversant ccc ?

14. Quelle caractérisation définit la fonction exponentielle sur R\mathbb{R}R ?

15. Quelle identité permet de réécrire e−xe^{-x}e−x ?

16. Pour deux réels xxx et yyy, que peut-on conclure de x<yx<yx<y ?

17. Pour le trinôme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c avec a≠0a\ne0a=0, quelle expression donne son discriminant ?

18. Combien de racines réelles possède un trinôme lorsque son discriminant vérifie Δ<0\Delta<0Δ<0 ?

19. Lorsque Δ>0\Delta>0Δ>0, quel est le signe du trinôme entre ses deux racines réelles ?

20. Si uuu est dérivable, quelle expression donne la dérivée de unu^nun ?

21. Pour une fonction dérivable uuu, quelle est la dérivée de aua^uau lorsque a>0a>0a>0 ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Biochimie et acides aminés

Psychologie analytique et développement

Enzymologie et génie enzymatique

Proportions et évolutions

Courant continu et alternatif

Le sol, une interface vivante

Crée tes propres QCM

1. Laquelle des expressions définit le nombre dérivé de $f$ en $a$ lorsqu’il existe ?

2. La tangente à la courbe de $f$ au point $A(a,f(a))$ a pour équation laquelle ?

3. Que peut-on déduire localement lorsque $f'(a)<0$ ?

5. Pourquoi la fonction racine carrée n’est-elle pas dérivable en $0$ malgré le fait qu’elle y soit définie ?

6. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x)=x^3$ ?

7. Que vaut la dérivée de la valeur absolue en un point strictement négatif $x$ ?

8. Quelle expression donne la dérivée d’une somme de deux fonctions dérivables $u$ et $v$ ?

9. Si $u$ et $v$ sont dérivables, quelle est la dérivée de leur produit ?

10. Sur quel ensemble peut-on appliquer la formule de dérivation de $\frac{u}{v}$ ?

12. Que peut-on conclure sur une fonction $f$ définie sur un intervalle si $f’(x)>0$ pour tout $x$ de cet intervalle ?

13. Que peut-on déduire si $f’$ s’annule en $c$ et change de signe en traversant $c$ ?

14. Quelle caractérisation définit la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ ?

15. Quelle identité permet de réécrire $e^{-x}$ ?

16. Pour deux réels $x$ et $y$ , que peut-on conclure de $x<y$ ?

17. Pour le trinôme $ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ , quelle expression donne son discriminant ?

18. Combien de racines réelles possède un trinôme lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

19. Lorsque $\Delta>0$ , quel est le signe du trinôme entre ses deux racines réelles ?

20. Si $u$ est dérivable, quelle expression donne la dérivée de $u^n$ ?

21. Pour une fonction dérivable $u$ , quelle est la dérivée de $a^u$ lorsque $a>0$ ?