Fiche de révision : Proportions, pourcentages et rationnels

📋 Plan du Cours

1. Proportion et pourcentage
2. Calculs de proportions successives
3. Nombres rationnels et décimaux

📖 1. Proportion et pourcentage

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Ensemble d’éléments.
• Sous-population : Partie d’une population.
• Pourcentage : Un pourcentage exprime la proportion d’une quantité par rapport à 100, et $t\% = \frac{t}{100}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La proportion d’une sous-population incluse dans une population est $\text{proportion}=\frac{n}{N}$, où n est le nombre d’éléments de la sous-population et N le nombre d’éléments de la population.

Compléments

• Dans un lycée de 1500 élèves, 975 étudient l’espagnol, soit une proportion de $\frac{975}{1500}=0{,}65$ et donc 65 % des élèves.

💡 Astuce mémo

La proportion compare une partie au tout, tandis que le pourcentage exprime cette comparaison sur 100.

📖 2. Calculs de proportions successives

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour calculer une partie connaissant le pourcentage et le tout, on utilise $\text{partie}=\frac{\text{proportion}}{100}\times\text{tout}$.

• 60 % de 65 lancers correspondent à $\frac{60}{100}\times65=39$ lancers réussis.

• Pour calculer une sous-population par proportions successives, on applique chaque pourcentage au résultat obtenu à l’étape précédente.

• Si B est une sous-population de A et A une sous-population de E, la proportion de B dans E est le produit de la proportion de A dans E par la proportion de B dans A.

Compléments

• Pour appliquer une proportion, on peut poser une proportionnalité entre le pourcentage et le tout, puis calculer $x=\frac{60\times65}{100}=39$.

• Si 156 élèves représentent 12 % des inscrits d’un lycée, le nombre total d’élèves est $\frac{156\times100}{12}=1300$.

• Les proportions successives donnent 2,5 % pour un dixième du quart, 19,5 % pour 30 % de 65 %, et 4,8 % pour 12 % de 40 %.

💡 Astuce mémo

Partie dans le tout → partie dans la partie → proportion globale.

📖 3. Nombres rationnels et décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction de deux entiers $\frac{p}{q}$ avec p ∈ Z et q ≠ 0 ; l’ensemble des nombres rationnels se note Q.

★ À maîtriser

• Les nombres naturels, les nombres entiers relatifs et les nombres décimaux sont inclus dans les nombres rationnels : $N\subset Q$, $Z\subset Q$ et $D\subset Q$.

📌 Un nombre décimal possède une écriture décimale finie, alors qu’un nombre rationnel peut avoir une écriture décimale non finie.

Compléments

• Les nombres 226,7, 0,079, 5/7 et 2/10 appartiennent à Q.

• Pour démontrer que 1/3 n’est pas décimal, on suppose par l’absurde que $\frac{1}{3}=\frac{p}{10^n}$ avec p ∈ Z et n ∈ N, puis on utilise la divisibilité par 3 de la somme des chiffres d’un multiple de 10 pour obtenir une contradiction.

💡 Astuce mémo

Tout nombre décimal est rationnel, mais 1/3 est rationnel sans être décimal.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions entre ensembles de nombres