Fiche de révision : Puissances entières relatives

📋 Plan du Cours

1. Définition des puissances positives
2. Exposants négatifs et règles
3. Calculs avec les puissances
4. Priorités et substitution
5. Puissances de dix
6. Écriture scientifique

📖 1. Définition des puissances positives

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière positive : Pour un entier positif non nul n et un nombre réel a, la puissance $a^n$ est le produit de n facteurs tous égaux à a, et, pour a non nul, $a^0=1$.

★ À maîtriser

• Pour un exposant entier positif, une base négative donne un résultat positif si l’exposant est pair et négatif si l’exposant est impair.

📌 Les expressions $(-5)^2$ et $-5^2$ sont différentes : la première vaut 25, tandis que la seconde vaut -25.

Compléments

• Les cas particuliers sont $0^n=0$ pour n positif non nul, $1^n=1$, $1^0=1$, $(-1)^{2018}=1$ et $(-1)^{2019}=-1$.

💡 Astuce mémo

(-a)^n conserve les parenthèses, tandis que -a^n place le signe moins devant la puissance.

📖 2. Exposants négatifs et règles

🔑 Notions clés & Définitions

• Exposant entier négatif : Pour un nombre réel non nul a et un entier n, $a^{-n}$ désigne l’inverse de $a^n$, soit $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des bases non nulles et des entiers m et n, $a^n\times a^m=a^{n+m}$ et $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$.

📐 Formule - Pour des nombres non nuls et des entiers m et n, $a^n\times b^n=(ab)^n$, $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$ et $(a^n)^m=a^{nm}$.

Compléments

• Pour simplifier une expression de puissances, on reconnaît d’abord sa structure, puis on applique la règle correspondante et on réduit l’expression à une puissance lorsque cela est possible.

💡 Astuce mémo

Même base : additionner, même exposant : regrouper, puissance de puissance : multiplier.

📖 3. Calculs avec les puissances

★ À maîtriser

• Pour transformer un produit ou un quotient en une puissance unique, on réécrit d’abord les nombres avec une base commune, puis on applique les règles sur les exposants.

Compléments

• L’expression $2^4\times4^2\times8^3$ se réécrit comme une puissance de 2 en remplaçant 4 par $2^2$ et 8 par $2^3$, puis en regroupant les exposants.

• Pour simplifier une fraction de facteurs premiers, on regroupe séparément les facteurs 2, 3 et 5 au numérateur et au dénominateur, puis on utilise les exposants pour obtenir une fraction irréductible.

💡 Astuce mémo

Reconnaître la base, appliquer la règle, réduire à une seule puissance.

📖 4. Priorités et substitution

★ À maîtriser

📌 Pour calculer une expression numérique, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses, ensuite les puissances, puis les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions.

• Pour substituer un nombre à une lettre dans une expression algébrique, on remplace la lettre par la valeur donnée, on conserve les parenthèses si la valeur est négative, puis on applique les priorités opératoires.

Compléments

📌 Pour prévoir le signe d’une expression, il faut distinguer le signe placé devant une puissance, comme dans $-(3x)^2$, du signe inclus dans la base, comme dans $(-3x)^2$.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → puissances → multiplications/divisions → additions/soustractions.

📖 5. Puissances de dix

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance de dix : Pour un entier n supérieur ou égal à 1, $10^n$ est le produit de n facteurs égaux à 10, donc son écriture décimale comporte n zéros ; par convention, $10^0=1$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un entier positif non nul n, $10^{-n}=\frac{1}{10^n}$, ce qui donne un nombre décimal comportant n chiffres après la virgule avant le 1.

📐 Formule - Pour des entiers m et n, $10^n\times10^m=10^{n+m}$, $\frac{10^n}{10^m}=10^{n-m}$ et $(10^n)^m=10^{nm}$.

Compléments

• Les nombres 0,1, 0,01, 0,0001 et 0,000 000 01 s’écrivent respectivement $10^{-1}$, $10^{-2}$, $10^{-4}$ et $10^{-8}$.

💡 Astuce mémo

Exposant positif → zéros à droite ; exposant négatif → chiffres après la virgule.

📖 6. Écriture scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : L’écriture scientifique d’un nombre décimal est l’unique écriture de la forme $a\times10^n$ dans laquelle a possède un seul chiffre non nul avant la virgule et n est un entier.

★ À maîtriser

• Pour mettre un nombre en écriture scientifique, on déplace la virgule afin d’obtenir un seul chiffre non nul avant celle-ci, puis on ajuste l’exposant de 10 selon le déplacement.

Compléments

• Le nombre 253 200 doit être écrit sous la forme d’un nombre compris entre 1 et 10 multiplié par une puissance de 10 pour obtenir son écriture scientifique.

💡 Astuce mémo

Une virgule déplacée laisse un seul chiffre non nul à gauche et l’exposant compte le déplacement.