Fiche de révision : Puissances et calcul numérique

📋 Plan du Cours

1. Notation scientifique et puissances de dix
2. Règles de calcul sur les puissances
3. Calculs numériques avec puissances
4. Signes et valeurs d’expressions
5. Démonstrations d’identités générales
6. Écriture avec facteurs premiers

📖 1. Notation scientifique et puissances de dix

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : s’écrit sous la forme $a\times 10^n$, avec $1\leq a<10$ et un entier relatif n.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour multiplier des puissances de 10, on utilise $10^a\times 10^b=10^{a+b}$, et pour les diviser, $\frac{10^a}{10^b}=10^{a-b}$.

Compléments

• Le nombre $31200\times10^{-2}$ s’écrit en notation scientifique $3{,}12\times10^2$.

• Le nombre $\frac{10^{201}\times10^{-4}}{(10^2)^{100}}$ vaut $10^{-3}=0{,}001$.

💡 Astuce mémo

Écrire, additionner les exposants, normaliser

📖 2. Règles de calcul sur les puissances

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une base non nulle a, on a $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ et $(a^m)^n=a^{mn}$.

📌 Pour tout nombre non nul a, $a^0=1$ et, pour tout entier n, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Compléments

📐 Formule - Pour des nombres a et b et un entier n, on utilise $a^n b^n=(ab)^n$.

📌 Le quotient $\frac{a^8}{a^{-5}}$ vaut $a^{13}$, tandis que $\frac{a^{30}}{a^2}$ vaut $a^{28}$.

💡 Astuce mémo

MPS : multiplier les exposants pour une puissance, soustraire pour un quotient

📖 3. Calculs numériques avec puissances

★ À maîtriser

📐 Formule - Le quart de $2^{2025}$ vaut $\frac{2^{2025}}{2^2}=2^{2023}$.

📐 Formule - La somme $2\times10^{10}+8\times10^{10}$ vaut $(2+8)\times10^{10}=10^{11}$.

• Pour écrire un produit sous la forme $2^n\times3^p$, on décompose les nombres en facteurs 2 et 3, puis on regroupe les puissances de même base.

Compléments

• Pour $M=9^4\times2^5\times3^{-1}\times2^{-8}$, on obtient $M=2^{-3}\times3^7$.

• Pour $N=4^{-1}\times3$, on obtient $N=2^{-2}\times3$.

📖 4. Signes et valeurs d’expressions

📝 Points essentiels

📌 Pour une base positive, toute puissance entière est positive, donc $5^{-2}=\frac1{25}>0$.

📌 Une puissance d’une base négative avec un exposant impair est négative, donc $(-5)^{-3}=\frac1{-125}<0$.

• Pour calculer la valeur d’une expression en $x=-1$, on remplace x par -1, on calcule les puissances, puis on effectue les opérations dans l’ordre.

• Pour $x=-1$, l’expression $-x^{2025}+x^{2026}+x+1$ vaut 2.

💡 Astuce mémo

Exposant pair : positif ; exposant impair : signe de la base

📖 5. Démonstrations d’identités générales

★ À maîtriser

• Pour tout entier positif n, $5^{2n}=25^n$ car $25^n=(5^2)^n=5^{2n}$.

• Pour tout entier positif n, $9^{5-n}\times3^{2n-6}=81$, car l’expression se réduit à $3^{10-2n+2n-6}=3^4=81$.

• Pour tout entier positif n, $\frac{10^{n+1}+10^n}{11}=10^n$ en factorisant $10^n$ au numérateur.

Compléments

• Pour vérifier une affirmation portant sur des puissances, on réécrit les nombres avec une même base, on applique les règles de calcul, puis on compare avec le résultat annoncé.

💡 Astuce mémo

Réécrire avec une même base → appliquer les règles → conclure

📖 6. Écriture avec facteurs premiers

★ À maîtriser

• Le quotient des nombres $M=2^{-3}\times3^7$ et $N=2^{-2}\times3$ vaut $\frac{M}{N}=2^{-1}\times3^6$.

Compléments

📐 Formule - L’écriture de $\frac{M}{N}$ sous la forme $2^n\times3^p$ donne $n=-1$ et $p=6$.

💡 Astuce mémo

Décomposer, regrouper, soustraire les exposants

📊 Tableaux de synthèse

Règles essentielles sur les puissances