Fiche de révision : Puissances et écriture scientifique

📋 Plan du Cours

1. Décomposition et notation des puissances
2. Produit de puissances même base
3. Exposants négatifs et particuliers
4. Puissance d’une puissance
5. Distributivité et écriture scientifique

📖 1. Décomposition et notation des puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Une puissance est une écriture qui représente la multiplication répétée d’une même base par elle-même, l’exposant indiquant le nombre de facteurs.

★ À maîtriser

• Dans une puissance, le nombre répété est appelé la base et le nombre de répétitions est appelé l’exposant.

Compléments

• La décomposition de 128 comporte sept facteurs 2, donc $128=2^7$.

💡 Astuce mémo

Une puissance représente une base répétée autant de fois que l’indique l’exposant.

📖 2. Produit de puissances même base

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit de deux puissances de même base vérifie $a^m\times a^n=a^{m+n}$.

• Le produit $A=2\times4\times2^6$ s’écrit $A=2^1\times2^2\times2^6=2^{1+2+6}=2^9$.

Compléments

• Pour réduire un produit de puissances de même base, on exprime chaque facteur avec cette base, puis on additionne les exposants.

💡 Astuce mémo

Même base : on additionne les exposants.

📖 3. Exposants négatifs et particuliers

★ À maîtriser

📐 Formule — Une puissance d’exposant négatif vérifie $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

📐 Formule — Pour tout nombre non nul a, $a^0=1$.

Compléments

• La puissance $2^{-4}$ est égale à $\frac{1}{2^4}$.

💡 Astuce mémo

Exposant positif : la puissance reste au numérateur ; exposant négatif : elle passe au dénominateur.

📖 4. Puissance d’une puissance

★ À maîtriser

📐 Formule — La puissance d’une puissance vérifie $(a^m)^n=a^{m\times n}$.

• L’expression $(2^2)^3$ vaut $2^{2\times3}=2^6$.

Compléments

• Pour développer une puissance d’une puissance, on répète la puissance intérieure autant de fois que l’indique l’exposant extérieur, puis on additionne les exposants identiques.

💡 Astuce mémo

Puissance d’une puissance : on multiplie les exposants.

📖 5. Distributivité et écriture scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : représente un nombre sous la forme $a\times10^p$, où a possède un seul chiffre non nul avant la virgule

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit de deux puissances de même exposant vérifie $a^n\times b^n=(ab)^n$.

• Le nombre 123 456 789 s’écrit en écriture scientifique $1{,}23456789\times10^8$.

Compléments

• Pour écrire un grand nombre en écriture scientifique, on place la virgule après son premier chiffre non nul et on utilise un exposant positif correspondant au déplacement effectué.

• Le produit $5^2\times7^2$ s’écrit $(5\times7)^2=35^2$.

• La puissance $2^{-2}$ vaut $\frac{1}{2^2}=\frac14=0{,}25$.

💡 Astuce mémo

Même exposant : produit des bases sous une seule puissance ; écriture scientifique : un seul chiffre avant la virgule.