Fiche de révision : Puissances et fractions

📋 Plan du Cours

1. Définition des puissances entières
2. Règles de calcul des puissances
3. Puissances de dix et virgule
4. Notation scientifique
5. Calculs avec les fractions
6. Méthodes de simplification

📖 1. Définition des puissances entières

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière positive : Produit de n facteurs tous égaux à b.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un nombre relatif non nul b et un entier positif n, $b^{-n}=\frac{1}{b^n}$.

• Les écritures $(-3)^4$ et $3^4$ valent 81, tandis que $-3^4$ vaut -81, car les parenthèses déterminent si le signe appartient à la base.

Compléments

📐 Formule — Les cas particuliers sont $b^0=1$, $b^1=b$ et $b^{-1}=\frac{1}{b}$.

💡 Astuce mémo

Exposant positif : répétition ; exposant négatif : inverse.

📖 2. Règles de calcul des puissances

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des bases non nulles et des entiers m et n, $a^m\times a^n=a^{m+n}$ et $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

📐 Formule — Pour des nombres relatifs a et b non nuls, $(a\times b)^n=a^n\times b^n$.

📐 Formule — Pour une base non nulle, $(a^m)^n=a^{m\times n}$.

Compléments

• Par exemple, $3^{-4}\times3^{-2}=3^{-6}$ et $\frac{3^{-4}}{3^{-2}}=3^{-2}$.

💡 Astuce mémo

Même base : additionner ou soustraire ; produit de puissances : multiplier.

📖 3. Puissances de dix et virgule

★ À maîtriser

📐 Formule — Une puissance positive de dix vérifie $10^n=1$ suivi de n zéros ; ainsi $10^4=10\,000$.

📐 Formule — Une puissance négative de dix vérifie $10^{-n}=\frac{1}{10^n}$ ; ainsi $10^{-4}=0{,}0001$.

• Multiplier un nombre par $10^n$ déplace sa virgule de n rangs vers la droite, tandis que le multiplier par $10^{-n}$ la déplace de n rangs vers la gauche.

Compléments

• Les calculs $2{,}3\times10^4=23\,000$ et $2{,}3\times10^{-4}=0{,}00023$ illustrent les déplacements de la virgule.

💡 Astuce mémo

10^n : virgule à droite ; 10^-n : virgule à gauche.

📖 4. Notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : Écriture d’un nombre sous la forme $a\times10^n$, où a est compris entre 1 et 9,9999...

📝 Points essentiels

• Le nombre 215 350 000 s’écrit $2{,}1535\times10^8$ en notation scientifique.

• Le nombre 0,000 001 256 s’écrit $1{,}256\times10^{-6}$ en notation scientifique.

💡 Astuce mémo

Un nombre s’écrit avec un seul chiffre non nul avant la virgule, suivi de 10^n.

📖 5. Calculs avec les fractions

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur non nul, $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$ et $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$.

📐 Formule — Le produit de deux fractions vérifie $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$, avec b et d non nuls.

📐 Formule — Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : $\frac{m}{n}\div\frac{p}{q}=\frac{m}{n}\times\frac{q}{p}$.

📌 Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur d’un quotient par un même nombre non nul conserve sa valeur : $\frac{a}{b}=\frac{a\times k}{b\times k}$.

📌 Si $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ avec b et d non nuls, alors l’égalité des produits en croix donne $a\times d=b\times c$.

Compléments

📐 Formule — L’inverse de $\frac{a}{b}$, avec a et b non nuls, est $\frac{b}{a}$.

💡 Astuce mémo

Égaliser, additionner ou soustraire ; multiplier ; inverser pour diviser.

📖 6. Méthodes de simplification

★ À maîtriser

• Pour simplifier une expression comportant des fractions, on met les termes au même dénominateur, on effectue les sommes ou différences, puis on transforme une division de fractions en multiplication par l’inverse.

Compléments

• La simplification de $\left(-\frac{2}{7}+4\right)\div\left(\frac{5}{2}-3\right)$ donne $-\frac{52}{7}$.

• La simplification de $\frac{2\times2^5}{2^7}$ utilise les règles des puissances et conduit à $2^0=1$.

📊 Tableaux de synthèse

Règles essentielles des fractions