Fiche de révision : Puissances et racines carrées

📋 Plan du Cours

1. Définition et signe des puissances
2. Propriétés de calcul des puissances
3. Écriture scientifique
4. Définition et calcul des racines

📖 1. Définition et signe des puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière positive : le produit de n facteurs égaux à a
• Puissance d’exposant négatif : l’inverse de aⁿ, soit $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

📝 Points essentiels

📌 Les parenthèses déterminent la base de la puissance : −3² = −9, alors que (−3)² = 9.

📌 Si la base est positive, toute puissance est positive ; si la base est négative, la puissance est positive lorsque l’exposant est pair et négative lorsqu’il est impair.

💡 Astuce mémo

−aⁿ et (−a)ⁿ ne donnent pas le même résultat : les parenthèses changent la base.

📖 2. Propriétés de calcul des puissances

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le produit de deux puissances de même base vérifie $a^n\times a^m=a^{n+m}$.

📐 Formule — Le quotient de deux puissances de même base non nulle vérifie $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$.

📐 Formule — La puissance d’une puissance vérifie $(a^m)^p=a^{m\times p}$.

📌 Il n’existe pas de règle de calcul permettant de remplacer une addition ou une soustraction de puissances par une puissance unique.

💡 Astuce mémo

Multiplier additionne les exposants, diviser les soustrait, composer les multiplie.

📖 3. Écriture scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : une écriture de la forme a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif

📝 Points essentiels

📌 Dans une écriture scientifique, le coefficient comporte un seul chiffre non nul avant la virgule.

💡 Astuce mémo

Une virgule déplacée laisse un seul chiffre non nul devant elle et l’exposant compte les déplacements.

📖 4. Définition et calcul des racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : le nombre positif noté √a dont le carré vaut a, c’est-à-dire (√a)² = a

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout nombre positif a, on a $\sqrt{a^2}=a$ et $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$.

📐 Formule — Pour des nombres positifs a et b, le produit de racines vérifie $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$.

• Pour écrire une racine sous la forme a√b avec a et b entiers et b minimal, on extrait les facteurs qui sont des carrés parfaits afin que b ne contienne plus de carré parfait.

💡 Astuce mémo

Extraire un carré parfait réduit le radicande et simplifie la racine.