Fiche de révision : Puissances et racines carrées

📖 1. Définition et signe des puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière positive : Pour tout entier positif non nul n et tout nombre relatif a, la puissance de a d’exposant n est le produit de n facteurs égaux à a, soit $$a^n
• Puissance d’exposant négatif : Pour un nombre non nul a et un entier positif non nul n, la puissance d’exposant négatif est l’inverse de la puissance d’exposant positif correspondante : $a^{-n}=\\frac{1}{a^n}$.

★ À maîtriser

📌 Les parenthèses modifient le nombre auquel s’applique l’exposant : $-3^2=-9$ alors que $(-3)^2=9$.

📌 Pour une base positive, toute puissance est positive ; pour une base négative, la puissance est positive si l’exposant est pair et négative si l’exposant est impair.

Compléments

• Par convention, toute base non nulle élevée à la puissance zéro vaut 1, notamment $(-4)^0=1$.

💡 Astuce mémo

Base positive : signe positif ; base négative : la parité de l’exposant décide du signe.

📖 2. Propriétés des puissances

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit de puissances de même base vérifie $a^n\\times a^m=a^{n+m}$.

📐 Formule — Le produit de puissances de même exposant vérifie $a^n\\times b^n=(a\\times b)^n$.

📐 Formule — Le quotient de puissances de même base, avec $a\\ne0$, vérifie $\\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$.

📐 Formule — Une puissance d’une puissance vérifie $(a^m)^p=a^{m\\times p}$.

Compléments

📐 Formule — Pour $b\\ne0$, la puissance d’un quotient vérifie $\\left(\\frac{a}{b}\\right)^n=\\frac{a^n}{b^n}$.

📌 Il n’existe pas de règle analogue permettant de transformer directement une addition ou une soustraction de puissances en une puissance unique.

💡 Astuce mémo

Produit : on additionne ; quotient : on soustrait ; puissance d’une puissance : on multiplie.

📖 3. Écriture scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : Une écriture de la forme $a\\times10^n$, où a est un nombre décimal vérifiant 1\\le a<10 et n est un entier relatif.

★ À maîtriser

• Pour obtenir l’écriture scientifique d’un nombre positif, on déplace la virgule afin de ne conserver qu’un seul chiffre non nul avant la virgule, puis on compense ce déplacement par une puissance entière de 10.

Compléments

• Le nombre 1 785 000 000 s’écrit en notation scientifique $1,785\\times10^9$.

• Le nombre 0{,}000028 s’écrit en notation scientifique $2,8\\times10^{-5}$.

💡 Astuce mémo

Une virgule déplacée laisse un seul chiffre non nul avant elle, compensé par une puissance de 10.

📖 4. Définition des racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Le nombre positif noté $\\sqrt a$ dont le carré vaut a, c’est-à-dire $(\\sqrt a)^2=a$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout nombre positif a, la racine carrée de son carré vaut a : $\\sqrt{a^2}=a$.

💡 Astuce mémo

La racine carrée est toujours positive et son carré redonne le nombre positif.

📖 5. Calcul et simplification des racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des nombres positifs a et b, le produit de racines carrées vérifie $\\sqrt a\\times\\sqrt b=\\sqrt{ab}$.

📐 Formule — Pour un nombre positif a et un nombre non nul b, le quotient de racines carrées vérifie $\\frac{\\sqrt a}{\\sqrt b}=\\sqrt{\\frac ab}$.

• Pour écrire une racine sous la forme $a\\sqrt b$ avec a et b entiers et b minimal, il faut extraire les facteurs qui sont des carrés parfaits afin que b ne contienne plus de carré parfait.

Compléments

• La simplification de $\\sqrt8$ donne $\\sqrt{4\\times2}=2\\sqrt2$.

• La simplification de $\\sqrt{56}$ donne $\\sqrt{4\\times14}=2\\sqrt{14}$.

💡 Astuce mémo

Décomposer, extraire le carré parfait, puis conserver le facteur sans carré parfait.

📊 Tableaux de synthèse

Règles essentielles sur les puissances