Fiche de révision : Puissances et racines carrées

📋 Plan du Cours

1. Puissances d’exposants positifs et négatifs
2. Priorités opératoires et signes
3. Puissances de dix et préfixes
4. Notation scientifique et ordres de grandeur
5. Racines carrées et applications
6. Produits de puissances et agrandissements

📖 1. Puissances d’exposants positifs et négatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance d’exposant positif : Pour un entier naturel non nul n et un nombre relatif a, le produit de n facteurs égaux à a.
• Puissance d’exposant négatif : Pour un nombre relatif non nul a et un entier strictement positif n, l’inverse de aⁿ.

📝 Points essentiels

📌 Pour a ≠ 0, a⁰ = 1 ; a² se lit « a au carré » et a³ se lit « a au cube ».

• La puissance (−2)⁵ vaut −32, car elle contient un nombre impair de facteurs négatifs.

💡 Astuce mémo

Exposant positif : répétition ; exposant négatif : inverse.

📖 2. Priorités opératoires et signes

📝 Points essentiels

• 🔄 Les opérations s’effectuent dans cet ordre :
  1. Les calculs entre parenthèses
  2. Les puissances
  3. Les multiplications et divisions de gauche à droite
  4. Les additions et soustractions de gauche à droite

📌 −7² vaut −49, tandis que (−7)² vaut 49, car les parenthèses incluent le signe négatif dans la puissance.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → puissances → multiplications et divisions → additions et soustractions.

📖 3. Puissances de dix et préfixes

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance de dix positive : Pour un entier positif n, le produit de n facteurs égaux à 10, qui s’écrit avec n zéros après le chiffre 1.
• Puissance de dix négative : Pour un entier positif n, l’inverse de 10ⁿ, dont le chiffre 1 apparaît au n-ième rang après la virgule.

📝 Points essentiels

📌 La convention 10⁰ = 1 complète les puissances de dix d’exposant positif.

• Les préfixes des puissances de dix sont :
  • giga (G, 10⁹)
  • méga (M, 10⁶)
  • kilo (k, 10³)
  • hecto (h, 10²)
  • déca (da, 10)
  • déci (d, 10⁻¹)
  • centi (c, 10⁻²)
  • milli (m, 10⁻³)
  • micro (µ, 10⁻⁶)
  • nano (n, 10⁻⁹)

💡 Astuce mémo

10ⁿ écrit des zéros après 1 ; 10⁻ⁿ place 1 après la virgule.

📖 4. Notation scientifique et ordres de grandeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : Écriture a × 10ⁿ d’un nombre décimal non nul, où n est un entier relatif et où a a un seul chiffre non nul avant la virgule ; pour un nombre positif, 1 ≤ a < 10.
• Ordre de grandeur : Valeur approchée simple qui sert à estimer un résultat et à en vérifier la vraisemblance.

★ À maîtriser

📌 Pour comparer deux nombres positifs en notation scientifique, on compare d’abord leurs exposants et, s’ils sont égaux, leurs coefficients.

Compléments

📌 Pour écrire un nombre en notation scientifique, on place la virgule après le premier chiffre non nul ; un déplacement vers la gauche donne un exposant positif et un déplacement vers la droite donne un exposant négatif.

• On obtient un ordre de grandeur en arrondissant le coefficient de la notation scientifique à un chiffre significatif.

• Le nombre 178 500 est encadré par deux puissances de dix consécutives : 10⁵ < 178 500 < 10⁶.

📖 5. Racines carrées et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Pour a ≥ 0, l’unique nombre positif ou nul dont le carré vaut a ; ainsi, √a ≥ 0 et (√a)² = a.

★ À maîtriser

• Pour encadrer √a entre deux entiers consécutifs, on cherche deux carrés parfaits consécutifs qui encadrent a.

Compléments

• Comme 49 < 60 < 64, on a 7 < √60 < 8 et √60 ≈ 7,75.

• Dans un triangle rectangle ABC en C avec AC = 6 cm et BC = 8 cm, le théorème de Pythagore donne AB² = 6² + 8² = 100, donc AB = 10 cm.

📖 6. Produits de puissances et agrandissements

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des exposants naturels m et n, $a^m \times a^n = a^{m+n}$.

📐 Formule - Pour un entier naturel n ≥ 1, $a^n \times b^n = (a \times b)^n$.

📌 Les règles de produit des puissances ne s’appliquent pas à une somme : 2² + 2³ = 12, et non 2⁵ = 32.

Compléments

📌 La règle du produit de puissances de même base vaut aussi lorsqu’un exposant est nul, à condition que la base soit non nulle.

📌 La règle du produit de puissances de même exposant vaut aussi pour n = 0 si a et b sont non nuls.

• Un agrandissement de rapport 2 multiplie les longueurs par 2 et les aires par 2² = 4.

• À chaque étape de transmission, chaque personne qui vient de recevoir l’information la transmet à 3 nouvelles personnes, sans qu’aucune ne la reçoive deux fois ; le nombre de nouveaux destinataires à la quatrième étape est donc 3⁴ = 81.