Fiche de révision : Puissances, racines et valeurs absolues

📋 Plan du Cours

1. Conjugué et rationalisation des dénominateurs
2. Définition et opérations sur les puissances
3. Valeur absolue et propriétés algébriques
4. Distance, centre et intervalles
5. Calculs et identités avec les racines
6. Simplification des expressions radicales

📖 1. Conjugué et rationalisation des dénominateurs

★ À maîtriser

📐 Formule - La troisième identité remarquable est $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

📌 Le conjugué de $a+b$ est $a-b$, et le conjugué de $a-b$ est $a+b$.

📌 Pour rationaliser un dénominateur contenant une somme ou une différence avec une racine carrée, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Compléments

• La quantité conjuguée de la racine carrée simple $\sqrt b$ au dénominateur est $\sqrt b$ elle-même.

• La rationalisation de $\frac{1}{3-\sqrt5}$ donne $\frac{3+\sqrt5}{4}$.

• La simplification de $\frac{3+\sqrt2}{4+\sqrt8}$ donne $1-\frac{\sqrt2}{4}$.

💡 Astuce mémo

Les conjugués 3 − √5 et 3 + √5 donnent une différence de carrés.

📖 2. Définition et opérations sur les puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : Le produit de $m$ facteurs égaux à $a$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout nombre $a$, on a $a^1=a,\quad a^0=1,\quad 0^m=0,\quad 1^m=1,\quad \frac1a=a^{-1}$.

📐 Formule - Pour des entiers relatifs $m$ et $p$, les règles de calcul sont $a^m\times a^p=a^{m+p},\quad \frac{a^m}{a^p}=a^{m-p},\quad (a^m)^p=a^{mp}$.

Compléments

📐 Formule - La puissance d’un produit vérifie $(a\times b)^m=a^m\times b^m$.

📐 Formule - Pour un exposant négatif, on a $a^{-m}=\frac{1}{a^m}$.

📌 Les parenthèses distinguent $(-2)^4=16$ de $-2^4=-16$, car dans le second cas le signe moins n’est pas élevé à la puissance.

• En notation scientifique, $4\times7\times10^{-5}\times10^{-8}=2{,}8\times10^{-12}$.

• En notation scientifique, $\frac{7\times10^4\times5\times10^8}{56\times10^{-9}}=6{,}25\times10^{20}$.

💡 Astuce mémo

Les parenthèses changent le signe : (−2)⁴ = 16, mais −2⁴ = −16.

📖 3. Valeur absolue et propriétés algébriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Vaut $x$ si $x$ est positif et $-x$ si $x$ est négatif.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout réel $x$, on a $|x|\geq0,\quad |-x|=|x|,\quad \sqrt{x^2}=|x|,\quad |x|=0\iff x=0$.

📌 Pour deux réels $x$ et $y$, $|x|=|y|$ équivaut à $x=y$ ou à $x=-y$.

Compléments

📐 Formule - Pour deux réels $x$ et $y$, $|xy|=|x|\times|y|$.

📐 Formule - Pour deux réels $x$ et $y$ avec $y\ne0$, $\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}$.

• Pour écrire $|x-5|$ sans barre de valeur absolue, on distingue les cas $x\geq5$, où $|x-5|=x-5$, et $x\leq5$, où $|x-5|=-(x-5)$.

📖 4. Distance, centre et intervalles

★ À maîtriser

• Sur une droite graduée, la distance entre les abscisses $a$ et $b$ vaut $|a-b|$.

📐 Formule - La condition $|x-a|\leq r$, pour $r\geq0$, équivaut à $x\in[a-r\,;\,a+r]$.

📐 Formule - Pour $r\geq0$, la condition $|x-a|>r$ équivaut à $x\in]-\infty\,;\,a-r[\cup]a+r\,;\,+\infty[$.

Compléments

📐 Formule - La distance entre deux points $A$ et $B$ d’abscisses $x_A$ et $x_B$ est $d(A,B)=|x_B-x_A|$.

• L’intervalle $[2;8]$ a pour centre $5$ et pour rayon $3$.

• La condition $|x-5|\leq2$ équivaut à $x\in[3;7]$.

💡 Astuce mémo

Un intervalle [a − r ; a + r] est centré en a, avec une marge r de chaque côté.

📖 5. Calculs et identités avec les racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Le carré d’une somme vérifie $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

📐 Formule - Le carré d’une différence vérifie $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Compléments

📐 Formule - Le produit de deux conjugués vérifie $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

• Le développement de $(\sqrt2+1)(\sqrt2+3)$ donne $4\sqrt2+5$.

• Le développement de $(x+\sqrt2)^2$ donne $x^2+2\sqrt2x+2$.

📖 6. Simplification des expressions radicales

★ À maîtriser

📌 Pour simplifier une somme ou une différence de racines carrées, on peut réduire les radicandes afin de regrouper les termes semblables, comme dans $\sqrt{28}+\sqrt{63}=5\sqrt7$.

Compléments

📌 Pour simplifier un produit de racines carrées, on peut regrouper les facteurs sous une même racine, comme dans $\sqrt{28}\times\sqrt{20}\times\sqrt{35}$.

• La simplification de $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{54}}$ donne $\frac23$.

• La comparaison de $11\sqrt{12}$ et $12\sqrt{11}$ est proposée comme exercice, sans résultat fourni.

• L’exercice propose de simplifier $\sqrt{11-4\sqrt7}$, sans fournir de solution.